Mathematicator
Usměrňování odmocnin
Ahoj Marku, shlédl jsem Tvoje video a s dovolením bych rád upřesnil použití téhle techniky.

Pravdou totiž je, že kromě střední školy se usměrňování odmocnin z důvodu "hezkého zlomku" považuje spíše za chybný krok.
Na střední se, bohužel, vyučují manuály a málokterý učitel rozvíjí intuici, která zahrnuje i vnímání čísel, což se pokusím vysvětlit.

Je hezčí zápis 1/√2 nebo √2/2 ?

Ačkoliv jsou obě čísla ekvivalentní, první zápis označuje inverzní prvek k odmocnině ze dvou, zatímco druhý je polovina odmocniny ze dvou.
Obecně pak 1/√k označuje inverzní prvek k odmocnině, zatímco √k/k je k-tina odmocniny - opravdu je druhý zápis jednodušší?

První forma je velice výhodná a často se využívá třeba ve statistice, když potřebuješ normalizovat funkce.
Zápis (1/√k)∫f(x)dx = 1 říká, že integrál funkce f(x) je roven √k a v kontextu dalších operací je takový zápis mnohem příjemnější a jednodušší než ten druhý (a rozhodně zcela běžný).

Pokud pominu školní písemky, je jednoduchá odmocnina pod zlomkem snad vždy užitečnější než složitější výraz bez ní.

Dalším prvkem (už mimo rozsah střední školy) je zacházení s výrazem (1 + √2) jako se součtem ortogonálních prvků.
Hezkým příkladem jsou, samozřejmě, komplexní čísla.

Výraz 1 / (a + bi) je trochu nepříjemný, ale stále označuje inverzní prvek k číslu (a + bi).
Díky úpravě, kterou ukazuješ na videu, můžeme výraz upravit a zjistíme, že inverzním prvkem k (a + bi) je jeho komplexně sdružená hodnota normovaná velikostí čísla, (a - bi) / (a^2 + b^2).

A to nás vede k reálnému použití usměrňování - je to jeden z mnoha triků, které se hodí při úpravách výrazů.
Nicméně, jedná se o techniku, která má pomoci proměnit výraz do jiného tvaru, ale ve většině případů rozhodně ne jednoduššího.
Úprava je vždy přechodná ve snaze se něčeho zbavit z výrazu, není to pokus o finální tvar.

Negativní důsledek, kterého si všímám, je pak pokřivené vnímání čísel u středoškolkých studentů.
Proč by √2/2 měla být hezčí než 1/√2 ?

Odmocnina z celého čísla, ať je, kde je, je zase jen číslo a navíc krásné číslo, což by se studenti měli učit.
Možná bychom pak viděli méně případů, kdy někomu vyjde iracionální diskriminant v kvadratické rovnici a hned si myslí, že to spočítal špatně :-)

Počítače jsou pak kapitola sama pro sebe, protože mají vlastní aritmetiku nad (velice malým) podoborem racionálních čísel a tady bych byl s tvrzeními velice opatrný.

Autor: Tomáš B. | Poslední aktivita: 1. 11. 2017 2:32 | Zobrazeno 187x
ikonka ADMIN | Marek V. | 1. 11. 2017 2:28

Ahoj Tome,

díky upřesnění a rozšíření mých obzorů.

Bohužel nemůžu s tebou souhlasit, že 1/√2 je hezčí výraz než √2/2, protože prostě pro odhad hodnoty toho zlomku je lepší druhá varianta. Možná se ti to zdá jako blbost, ale i pro mě (a to si myslím, že to s čísly docela umím) je mnohem příjemnější ta druhá varianta. Když potřebuju to číslo namalovat na reálnou osu, tak mě inverzní prvek opravdu nezajímá. Možná je to trochu přízemní, ale když uvažuju o nějakým čísle, například 5, tak si přece neříkám: to je inverzní prvek k 1/5. Prostě je to 5. To je to , co mě v ten moment zajímá. Beru to samozřejmě vztažený k nějakým středoškolským, případně začátečnicky vysokoškolským apliakcím.

Uznávám, že když půjdeme hodně do hloubky, tak se mi tyhle úvahy asi budou hodit, ale mám za sebou asi 12 nebo 15 semestrů matiky a do těhle úvah o inverzních prvcích jsme se dostali jen výjimečně (v algebře).

ikonka ADMIN | Marek V. | 1. 11. 2017 2:32

Jo, a co se týče těch počítačů, tak tam jsem si téměř jistý, že dělit celým číslem je výrazně výpočetně méně náročné, než dělit dlouhým desetinným číslem. Zvlášť, když to děláš s přesností, která je za hranicí běžných typů, jako je třeba real (float) a musíš si na to napsat vlastní algoritmus. Dělali jsme to. Psal jsem algoritmus na dělení dlouhých čísel a je to docela velkej rozdíl.
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.
Informace
Toto je pouze testovací verze fóra a nemusí vždy fungovat správně, nicméně by základní funkčnost již měla být hotová. Budu rád za nahlášení jakékoli chyby a nápadů na zlepšení. V tomto pravém menu již brzy budou další doplňující ovládací prvky, které můžete navrhnout.


Mathematicator 2018 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky