Mathematicator
Kvadratická rovnice – problém s odmocninou
Dobrý den,
je zadaná kvadratická rovnice v součinovém tvaru, viz obrázek.
Závorky jsem roznásobil, rovnici upravil a počítal ji jako klasickou kvadratickou rovnici přes diskriminant. Spočítal jsem kořeny a1, a2. Následně jsem dokázal, že kořeny a1 a a2 odpovídají skutečně číslům -1/2 a [2^(1/2)]/2.
Můj dotaz je směřován na to, jakými úpravami dostanu z kořenů a1 a a2 "hezčí čísla". Jinými slovy, ptám se na to, jak tyto dva číselné výrazy lze zjednodušit.(Vše za podmínek, že rovnici nerozkládám na součin – kvůli tomu jsem záměrně roznásoboval – nedoplňuji na čtverec, a že nevím, že kořeny a1 a a2 se rovnají hodnotám -1/2 a [2^(1/2)]/2)
Příloha (kliknutím zvětšíte):
příloha

Autor: David N. | Poslední aktivita: 17. 11. 2017 13:29 | Zobrazeno 493x
ikonka Pavel M. | 14. 11. 2017 8:47

Ahoj Davide,
co si představuješ pod pojmem "hezčí číslo"? Co se ti nelíbí na √(2)/2 a -1/2?

Tento příspěvek byl editován |
ikonka ADMIN | Marek V. | 14. 11. 2017 15:23

Ahoj Davide,
už tomu rozumím. Myslím, že pavel to pochopil tak, že chceš hezčí formu odmocniny ze dvou lomeno dvěma, ale ty chceš hezčí formu toho co ti vyšlo jako a1 a a2. Vlastně se ptáš, jak z a1 a a2 udělat -1/2 a odmocninu ze dvou lomeno dvěma. Je to tak?
ikonka ADMIN | Marek V. | 14. 11. 2017 15:26

hele, mám pocit, že jsi udělal chybu při přechodu z druhého na třetí řádek když počítáš a1,2. jak jsi tam vytknul, tak ti tam zůstala odmocnina ze dvou. ale mělo by to bý odmocnina ze dvou lomeno dvěma.
ikonka ADMIN | Marek V. | 14. 11. 2017 15:31

jo, tak ne, jenom jsi to tam blbě opsal to -b, takže výsledek je dobře, ale blbě jsou první dva řádky :-).
ikonka Tomáš B. | 15. 11. 2017 0:28

Ahoj Davide, docela dobrá otázka.

Úpravy výrazů se nedají vyjádřit v nějaké exaktní formě a nedá se ani pořádně říct, jakým způsobem máš výraz upravovat.
Všechno je to o cviku, znalostech, intuici a často i o štěstí.

Můžeš si třeba všimnout, že pod odmnocninou se skrývá vzorec (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Když to rozepíšu: √(3 + 2√2) = √(2 + 2√2 + 1) = √(√2 + 1)^2 = √2 + 1

Nebo z druhé strany, můžeš si zapamatovat vzorec: √k + 1 = √(k + 1 + 2√k)
Třeba se ti bude někdy hodit? :)

Ovšem není to jenom o vzorcích, které by ses měl učit zpaměti.
V matematice existují zákoutí, kde nebudou platit základní pravidla, která se učíš ve škole jako daná a člověk se pak učí počítat prakticky od "začátku".

Asi trochu předběhnu učivo, ale vezmi si taková přirozená čísla.
Základní věta aritmetiky tvrdí, že každé přirozené číslo lze jednoznačně rozložit na součin prvočinitelů (obecněji jim říkáme ireducibilní prvky).

Ale když si vytvořím takzvanou extenzi N[√2], což jsou přirozená čísla a odmocnina ze dvou, už to není pravda.
49 = 7 * 7 = (5√2 + 1)(5√2 - 1)
1 = (√2 + 1)(√2 - 1)

Můžeš vidět, že 49 lze rozložit dvěma způsoby, a dokonce i číslo 1 má dva dělitele!

Pokud ti to přijde divné, tak jsi už možná slyšel o komplexních číslech?
2 = (1 + i)(1 - i)
2i = (1 + i)(1 + i)
10 = 2 * 5 = (3 + i)(3 - i)

A abych odpověděl na tvoji otázku - musíš se pokoušet o úpravy svého výrazu a s trochou štěstí se po chvíli zjednoduší.
Nebo už máš nějaké zkušenosti a využiješ znalosti z jiných algebraických oborů, takže si všimneš nějakého vztahu a ten využiješ.
ikonka DOTAZUJÍCÍ | David N. | 17. 11. 2017 13:29

Jo, špatně jsem to opsal :-D. Jinak děkuji za odpověď Tomáši :-).
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.

Mathematicator 2018 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky | Ochrana soukromí