Mathematicator
Úloha Matematika+
Ahoj,
dokázal by mi někdo poradit s následující úlohou z Matematiky+ z roku 2015? První dvě úlohy mi nedělají problém, až ta poslední.
V Kocourkově vydláždili cestu od radnice kulatými dlaždicemi.
První den položili jednu dlaždici s průměrem 51 cm, druhý den dvě dlaždice s průměrem 52 cm, další den tři dlaždice s průměrem 53 cm atd. Až do konce pokračovali podle stejného pravidla. Každý den položili o 1 dlaždici více než v předešlém dni a zároveň se průměr dlaždic zvětšil o 1 cm. Poslední den položili největší počet dlaždic, a to s průměrem 130 cm.

Vypočtěte, kolik dlaždic na cestě mělo průměr 130 cm. [80]
Vypočtěte, kolika dlaždicemi v Kocourkově vydláždili celou cestu. [3 240]
Vypočtěte průměr dlaždice, která byla položena na cestě jako tisící v pořadí. [95 cm]
Autor: Ondřej S. | Poslední aktivita: 28. 12. 2017 20:17 | Zobrazeno 582x
ikonka Martin S. | 27. 12. 2017 18:22

Ahoj Ondřeji,
s průměrem 51 cm je tam 1 krát, s 52 cm 2 krát, ... každá další zabírá vždy určitý počet pořadových míst, přičemž se vždy tento počet o 1 zvyšuje. Takže třeba dlaždice s průměry 51 cm až 60 cm zabírají 1+2+3+...+9+10 = 55 pořadových míst, ale to např. znamená, že poslední dlaždice s průměrem 60 cm je položena na 55. pozici. Zkus to na zákadě tohoto již vyřešit. Kdyby to nešlo tak napiš, ale alespoň navrhni nějaké nápady.

Martin
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Ondřej S. | 28. 12. 2017 16:28

Napadlo mě tohle.
Od výsledku se ale liším o jedničku. Hádám, že špatně zaokrouhluji. Hledané x přece musí být přirozené číslo. √8001 je přibližně 89,448309095. Kdybych toto zaokrouhlil na 90, tak bych pak mohl 44,5 zaokrouhlit na 45 a výsledek by seděl.
Jdu na to správně?

Příloha (kliknutím zvětšíte):
příloha
ikonka Martin S. | 28. 12. 2017 19:10

Problém je právě v tom, že u rovnice 1 + 2 + ... + x = 1000 nám x vyjde pěkně (přirozeně) pokud ta 1000. pozice je právě poslední pozicí pro ten průměr, jenž je tam zastoupen x–krát. Určitě nezaokrouhlovat! Přibližný výsledek té rovnice je 44,22; teď je potřeba to interpretovat. Znamená to jednak, že na 1000. pozici není jako poslední zástupce žádného průměru (což pro nás není podstatné); a dále lze intuitivně soudit, že číslo 44,2 nám říká, že na 1000. pozici nebude cihla s počtem zastoupení 44, neboť tento počet zkrátka nestačí, a to ani na poslední pozici v tomto bloku (to by vyšlo 44 rovných); tedy už nutně to musí být cihla v počtu zastoupení 45, což ukazuje na 95 cm průměry.Také dobré provést zkoušku, pro x = 45 vychází 1 + 2 +3 + ... + 45 = 1035, takže poslední cihla s počtem zastoupení 45 je na 1035 pozici, tudíž první je na 991. pozici. (na 990. pozici je poslední cihla pro x = 44).

Martin
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Ondřej S. | 28. 12. 2017 20:17

Děkuji za pomoc, už je mi to jasné.
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.

Mathematicator 2018 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky | Ochrana soukromí