Mathematicator
Použití derivací/integrálů na reálná data
Ahoj. Nevím jestli to úplně patří na tohle fórum ale nevím, kde jinde bych se zeptal :)
Přemýšlel jsem nad využitím derivací a integrálů v praxi. Všude jsem se dočetl, že se to používá "všude" ale reálné příklady využití byly omezeny jen na nějaké příklady z fyziky, kde lze pomocí funkcí, které používáme v matematice simulovat nějaký děj v přírodě - třeba padající těleso kvadratickou funkcí, pohyb pružiny pomocí sinusoidy a tak podobně.

Ale co když budu mít nespojitá (diskrétní) data třeba v excelu? Ta budou tvořit třeba nějakou křivku (nespojitou) a já budu chtít zjistit derivaci v každém bodě popř. budu chtít vypočítat plochu pod křivkou. Jak to udělám? Napadá mě jen body spojit přímkama ale to by potom aplikace derivace postrádala smysl. Jak se tedy tyhle věci používají v praxi třeba v ekonomii, financích a podobně? Těžko budu nějaký proces ve firmě simulovat pomocí čistě matematické funkce.
Díky za každou odpověď, Tomáš.

Autor: Tomáš K. | Poslední aktivita: 10. 04. 2018 0:34 | Zobrazeno 175x
ikonka Tomáš B. | 8. 04. 2018 22:56

Ahoj Tomáši, není důvod, proč bys nemohl modelovat procesy ve firmě pomocí čistě matematických funkcí.
Ve statistice se to dělá běžně a často se takhle modelují i mnohem složitější události.

Jen mi nějak není jasné, na co přesně se ptáš?

Ptáš proto, že integrálům nerozumíš?
To by naznačoval ten druhý odstavec, který nemá hlavu ani patu.

Křivky jsou z definice spojité, takže buď pracuješ na diskrétním nebo spojitém oboru - jinak řečeno, buď jsou to řady nebo integrály.
Jestli jsou tvoje data uložena v excelu, jsou z principu diskrétní, ale pořád s nimi můžeš zacházet jako se vzorkem spojité funkce, protože práce s takovým modelem může být například jednodušší.
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Tomáš K. | 8. 04. 2018 23:09

Rozumim principu integrace a umim resit spise jednodussi integraly. Myslel jsem to tak, ze bych ty body nejak pospojoval cimz by mi vznikla spojita krivka a tu plochu bych pocital pod ni. To by mozna i docela davalo smysl. To modelovani ruzmych procesu ciste pomoci matematickych funkci je zajimave. Jak se prosim takove metody ve statistice presne jmenuji? celkem me toto tema vyuziti matematiky v praxi zajima. dekuji
ikonka ADMIN | Marek V. | 9. 04. 2018 15:32

Nazdar Tomášové :-).

Trochu se vám do toho vmísím se svým příspěvkem z fyziky. Kdykoli budeš řešit nějaký reálný problém, tedy složitý problém (protože ty jednoduché už jsou vyřešeny), tak budeš modelovat systém pomocí nějakých rovnic. Můžou to být parciální diferenciální rovnice, můžou to být integrální rovnice, může to být kombinace obojího a většinou jsou to soustavy několika rovnic. například když budeš počítat něco z exlektromagnetismu, budou základem Maxwellovy rovnice. Když budeš modelovat pohyby země (uvnitř) jako například pohyby a proudy v plášti, budeš používat různé rovnice pro popis proudění, plus nějaké rovnice na přenos tepla, atd atd.

Takže začínáš tím, že si sestavíš rovnice, které by měly popisovat ten děj.

Pak přichází na řadu prostředí. Takže třeba když modeluješ pohyby uvnitř země, tak si třeba řekneš, že ta země je rozdělená na nějaké oblasti s různou viskozitou, hustotou atd. Jakoby si namaluješ jak to prostředí vypadá. V elektromagnetismu by to byla například mapa rozložení nábojů a zdrojů magnetického pole. Kdybys modeloval pohyby planet, tak by to byla zase mapa rozložení hmoty (planety, hvězdy, atd).

No a pak, protože to nemůžeš počítat na nekonečně velkém prostoru, tak musíš říct, co se děje na hranicích té oblasti kde to modeluješ.

A když tohle máš, tak máš základy matematického modelu. A problém je to, že je to analyticky neřešitelné. téměř vždy. Pouze pokud počítáš opravdu hóóódně jednoduché věci tak to vyřešíš v ruce.

Takže na to musíš aplikovat numerické metody. Například si tu celou oblast pokryješ sítí a počítáč to na síti. Nebo použiješ metodu konečnách elementů, což je velmi oblíbená a dobrá metoda.

A právě tenhle moment, kdy přecházíš od matematického popisu k tomu, že to počítáš na nějaké síti a musí to upočítat počítač, je ten moment, kdy přecházíš od spojitých funkcí v modelu k diskrétním funkcím které jsou definované na nějaké síti pouze hodnotami v uzlových bodech. A je to ten moment, kdy se z integrování stává sčítání a z derivování se stávají nějaké podíly rozdílů hodnot v sousedních bodech té sítě. A uděláš to, že přepíšeš tu svojí soustavu rovnic která modeluje ten proces (třeba ty Maxwellky) na soustavu lineárních rovnic v každém uzlovém bodě. Takže podle hustoty sítě a velikosti oblasti ti pak z toho vyjde různě veliká soustava lineárních rovnic. Když se dělají "malé" oblasti s řídkým dělením, tak ti z toho vyleze třeba soustava 10000 rovnic o 10000 neznámých, kterou počítač vyřeší za chvilku. když se modeluje velká oblast s hostou sítí, tak z toho vyjde třeba milion rovnic o milionu neznámých, což trvá už trochu dýl. když se navíc modeluje nějaký časový vývoj, tak to může trvat poměrně dlouho. my jsme na fakultě dělali modely, které naše tehdejší počítače počítaly několik měsíců.

Takže abych to shrnul. Ve fyzice praxi téměř vždy začínáš se spojitými funkcemi, inegrováním a derivováním a končíš u programu, který to počítá na síti a sčítá se a odčítá.

Ještě doplním něco málo co vím o ekonomii. Tam někdy používají takzvané diferenční rovnice, což je obdoba diferenciálních rovnic, ale pro nespojité veličiny, což je pro ekonomii typické, protože sbíráš data v určitých časových intervalech.
ikonka ADMIN | Marek V. | 9. 04. 2018 15:35

Haha a teď jsem si uvědomil, že dotaz byl na integrály :-). Pokud se bavíme o tom, že měříš nějaká data, tak nikdy nebudeš mít spojitou funkci. Takže budeš vždy nahrazovat analytický integrál numerickým sčítáním. Leda že bys vzaly ty svoje naměřený data, proložil jimi nějakou funkci a tu pak analyticky integroval.
ikonka Tomáš B. | 10. 04. 2018 0:34

Ve strojovém učení a datové analytice obvykle hledáme určitý model, který by mohl reprezentovat získaná data. Pokud jsou data spojitého charakteru, je přirozené hledat model ve formě spojité funkce. Nejjednodušším příkladem je asi hledání distribuční funkce ve formě nějakého dobře známého modelu a integrály jsou základním nástrojem.

Data mohou být diskrétní, ale uvažování ve formě integrálů je jednodušší než práce se složitými řadami. Když se mi povede ukázat nějakou vlastnost dat pomocí integrálů, můžu se pak vrátit zpátky do diskrétního oboru a naprogramovat výpočty pomocí řad.

Jindy zase můžeš řešit optimalizační problém s relativně malým množstvím dat, kde se zase dostaneš obloukem zpátky k distribučním funkcím, které reprezentují (ne)jistotu pravého modelu. To všechno stojí na derivacích a integrálech a slouží to hlavně k modelování reálných procesů.

Když už chceš znát nějaký reálný příklad, můžeš si najít kvantitativní obchodování, které stojí i padá na matematice.
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.

Mathematicator 2018 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky | Ochrana soukromí