Lineární algebra - důkaz
Ahoj, mám menší problém s formalizací důkazu:
Příklad - Nechť A,B jsou matice z T(n,n), potom matice A,B jsou obě regulární právě tehdy, když matice AB a BA jsou obě regulární. Dokažte.
Postupoval jsem tedy takto:
Regulární matici definujeme jako takovou, která má nenulový determinant.
Determinant A = a11a22a33*...*ann -> determinant je vynásobením všech prvků hlavní diagonály. čísla jsou indexy.
Podle definice maticového násobení tedy ((AB)nn := (sum from l=1 to n; Anl*Bln)) n a l jsou indexy.
Takže i pro matici AB i BA musí platit, že pokud by A nebo B nebyly regulární, po vynásobení můžou vzniknout v hlavní diagonále nuly, tj determinant matice AB nebo BA by v sobě měl nulu
det AB = ab11ab22ab33*...0...*abnn -> kvůli čemuž by samotný determinant byl nulový a matice by nebyla regulární.
Pokud jsem někde udělal chybu, prosím, opravte mne. Pokud ne, jak by šel takovýto důkaz formalizovat?
Předem díky za odpovědi :)
Lukas A.
12. 04. 2018 19:29
1 odpověď
A =
[2 2]
[2 2]
B =
[.5 0]
[0 .5]
AB =
[1 1]
[1 1]
Takže tvoje tvrzení není správné, protože AB je singulární a neobsahuje nulu.
Navíc se snažíš dokazovat jen jednu implikaci, druhá půlka důkazu chybí.
Pokud regularitu definuješ přes determinant (obvykle se definuje přes invertibilitu), stačí ti k důkazu vztah det(AB) = det(A)det(B),
Další už je jen důsledkem vlastností tělesa T.
Pro důkaz bez determinantů musíš nejpve ukázat, že (AB)(inv(B)inv(A)) = I a pak i obrácenou implikaci.
Čistě intuitivně, regulární matice A nad T(n,n) tvoří bázi v prostoru nad tělesem T, tzn. máš n lineárně nezávislých vektorů.
AB je projekcí v tomto prostoru na jednotlivé bázové vektory.
Pokud je i B regulární, dostaneš n nezávislých projekcí v každém směru, takže AB musí být regulární.
Stejné platí i naopak, pokud je AB regulární matice, musí být její rozklad také regulární, jinak bys při zpětné projekci dostal z jednoho vektoru více projekcí vektorů ve stejném směru. V důsledku toho bys dokázal nulový vektor zobrazit na libovolný nenulový bod.