Mathematicator
nápad na video - zajímavá rovnice
Ahoj,
Nedávno jsem narazil na zajímavou rovnici: x^x^x^x^x^x^x^x^x^x^x^x^x^x^x^x.......= 2 Vím, že výsledek je x = odmocnina ze dvou, ale myslím, že by stálo za to natočit o tom video, kde bys mohl vysvětlit podrobnosti proč to tak funguje a přidat nějaké matematické souvislosti. Sám bych na to byl zvědavej a myslím, že by se to mohlo lidem líbit. :)
Autor: Jan H. | Poslední aktivita: 27. 04. 2018 10:30 | Zobrazeno 200x
ikonka ADMIN | Marek V. | 25. 04. 2018 9:58

Ahoj Honzo, díky za námět. Chápu to správně, že to umocňování je tam nekonečné?
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Jan H. | 25. 04. 2018 14:37

ano
ikonka ADMIN | Marek V. | 25. 04. 2018 15:05

Hele a ty víš jak tu rovnici vyřešit? Protože mě zatím žádný postup nenapadá....
ikonka Tomáš B. | 25. 04. 2018 20:00

Kdybys chtěl najít odhad, aby bylo jednodušší rovnost dokázat, stačí vyřešit exponenciální rovnici:

x^x^... = 2
ln(x^x^...) = ln2
x^x^...*lnx = ln2
2*lnx = ln2
x^2 = 2

Jedná se ovšem pouze o odhad, nikoliv o řešení.

Pro důkaz musíš vzít x^x^... a pracovat s ní jako s posloupností. Pro korektní důkaz už jen stačí ukázat, že je monotonní a omezená a horní mez je právě ta hodnota, kterou jsme už našli.
ikonka ADMIN | Marek V. | 26. 04. 2018 15:49

Tome, já jsem asi úplně zabržděnej nebo co, ale nechápu jak se z třetího řádku dostaneš na čtvrtej. K tomu třetímu jsem došel už dřív taky, ale skončil jsem tam. Díky.
ikonka Martin S. | 26. 04. 2018 19:01

Ahoj, pokud se do toho můžu vložit, tak myslím, že se jedná o dosazení z prvního řádku x^x^... = 2.
ikonka Tomáš B. | 26. 04. 2018 19:39

Ano, Martin má pravdu, pracujeme s indukcí, a pokud f(f(f(...))) konverguje k nějakému y, potom f(f(f(...))) = f(y)

Dokonce bychom ani nemuseli aplikovat logaritmus, ale díky němu je ihned vidět, že ve třetí řádce dostaneme ten samý výraz jako v první řádce.
Když to řeknu jinak, je to úplně obyčejná řada (ve smyslu spočetnosti), jenom nesčítáme, ale mocníme.
ikonka ADMIN | Marek V. | 27. 04. 2018 10:30

Jaj, chlapi díky. No to jsem teda jelito :-).
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.

Mathematicator 2018 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky | Ochrana soukromí