Limita posloupnosti s parametrem

Občas je jednodušší se k výsledku dopracovat postupně, ale nejdřív jedno pozorování.

Protože n jde do nekonečna, existuje N takové, že pro všechna n > N je výraz v limitě rostoucí vzhledem k α.

To znamená, že zafixuješ n a pokud α roste, roste i celý výraz.

1. pro α <= 0 je limita jednoduchá

2. pro α = 1 je limita taky jednoduchá, stačí se uvědomit, že výraz n*log(n+1)/n konverguje k 1

3. díky původnímu pozorování teď víme, že pro α <= 1 bude limita 0

4. pro α > 1 půjde do nekonečna, což intuitivně plyne z podílu polynomiální funkce a logaritmu

Důkaz pro (4) uděláš tak, že si budeš počítat limitu "zlomek" * n * n^(α-1).

Čitatel jde k 1, což už víš z bodu (2) a zbyde ti n^(α-1) / jmenovatel.

Možné řešení zbylého výrazu je třeba takové, že dáš pryč odmocniny a ukážeš, že nový výraz je menší než původní a stejně jde do nekonečna.

Pak už je to jen sada úprav, která vede na konečnou limitu výrazu C * n / log(n), kde C je konstanta.

Ahoj, díky za pomoc. Trochu jsem zapomněl, že vastně počítam s parametrem.

Pokud dobře chápu tak u 4. čitatel řeším věteou o jedno dvou policajtech pro nekonečno...