Mathematicator
Limita posloupnosti s parametrem
Zdravím,
zasekl jsem se na tomto příkladu. Za každou radu budu rád. Řešení by mělo být bez užití l´hospitala...
Příloha (kliknutím zvětšíte):
příloha

Autor: Dave L. | Poslední aktivita: 13. 11. 2018 21:55 | Zobrazeno 179x
ikonka Tomáš B. | 10. 11. 2018 22:17

Občas je jednodušší se k výsledku dopracovat postupně, ale nejdřív jedno pozorování.

Protože n jde do nekonečna, existuje N takové, že pro všechna n > N je výraz v limitě rostoucí vzhledem k α.
To znamená, že zafixuješ n a pokud α roste, roste i celý výraz.

1) pro α <= 0 je limita jednoduchá

2) pro α = 1 je limita taky jednoduchá, stačí se uvědomit, že výraz n*log(n+1)/n konverguje k 1

3) díky původnímu pozorování teď víme, že pro α <= 1 bude limita 0

4) pro α > 1 půjde do nekonečna, což intuitivně plyne z podílu polynomiální funkce a logaritmu

Důkaz pro (4) uděláš tak, že si budeš počítat limitu "zlomek" * n * n^(α-1).
Čitatel jde k 1, což už víš z bodu (2) a zbyde ti n^(α-1) / jmenovatel.
Možné řešení zbylého výrazu je třeba takové, že dáš pryč odmocniny a ukážeš, že nový výraz je menší než původní a stejně jde do nekonečna.

Pak už je to jen sada úprav, která vede na konečnou limitu výrazu C * n / log(n), kde C je konstanta.
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Dave L. | 13. 11. 2018 21:55

Ahoj, díky za pomoc. Trochu jsem zapomněl, že vastně počítam s parametrem.
Pokud dobře chápu tak u 4. čitatel řeším věteou o jedno dvou policajtech pro nekonečno...
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.

Mathematicator 2018 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky | Ochrana soukromí