Jak se vypočítá pomocí variace, permutace a kombinace... n ?
Například:
Z kolika různých prvků lze vytvořit 13 800 variací třetí třídy ?
Z kolika prvků můžeme vytvořit 40 320 permutací bez opakování ?
Urči počet prvků n, je-li počet kombinací druhé třídy 66. ?
Předem děkuji za vysvětlení. Eva
Eva Š.
22. 11. 2018 17:29
6 odpovědí
Ahoj Evo,
prostě si napiš vzorec pro počet pro variace nebo kombinace dané třídy z n prvků a polož ho rovno tomu číslu. Pak už jen vyřešíš rovnici.
Například ty kombinace druhé třídy....
n!/(n-2)!*2! = 66
Ahoj Marku,
u třetího příkladu mi to pomohl, ten příklad jsem vypočítala pomocí kvadratické rovnice, výsledek = 12.
U prvního příkladu jsem se dostala k řešení rovnice, ale kubické a nevím jak dál, dá se to asi řešit pouze numericky ne algebricky...
Druhý příklad 40 320 = 8! (faktoriál) ale to asi není postup..
Kubická rovnice:
n* (n-1)*(n-2) = 13 800 nedokážu to algebricky vypočítat nebo jsem postupovala špatně?
Zdravím
ten druhý příklad se dá napsat jako n!=40320. No a teď jen hledat faktoriál, který je roven 40320. Faktoriál je hodně rychle rostoucí funkce, takže to bude nějaké malé číslo. Po pár číslech určitě dojdeš na to, že to je 8.
A ta kubická rovnice. Určitě má algebraický řešení. Jak k němu dojít.... Existují Cardanovy vzorce, ale to je většinou pro výpočet moc složité. Ale jestli nemáš teď půl roku co dělat, tak je můžeš v pohodě použít. Pak u nějakých kubických rovnic se dá pěkně vytýkat. V tomhle případě se mi to nepodařilo. Je určitě možné, že to nějak pěkně jde. A pak tu je nejvíc tricky metoda a to je tipování kořene. Jak tipovat? Jelikož má tahle kubická funkce nenulový absolutní člen (-13800), tak určitě nebude kořen nula. Děláš variaci z nějakého počtu členů, takže ty členy nemůžou bejt záporný. Takže tipovat zápornej kořen taky nemá smysl. Kubická funkce(naše) je rostoucí takže bych zkusil nejdřív třeba 1,2,3... Uvidíš, že ty hodnoty jsou furt hodně záporný. Tak třeba 10, 20, 30. U 30 zjistíš, že hodnota je kladná. U 20 byla ještě záporná. Takže kořen (jelikož kubická funkce je spojitá) bude určitě mezi 20 a 30. A tak dále. Maličko se mi tenhle způsob příčí, protože to je trochu jako tahání králíka z klobouku, ale co...dojde se tím ke správnému výsledku. Když bys potom chtěla zjistit jestli to má další reálný kořeny, tak bys tu kubickou funkci vydělila výrazem (n-n1) n1=kořen A spočetla by sis kvadratickou rovnici. Snad se mi to povedlo nějak srozumitelně vyjádřit.
Když řešíme rovnici n*(n-1)*(n-2) = 13800, můžeme využít toho, že násobíme 3 po sobě jdoucí čísla a zapsat si je v alternativní formě, (m+1)m(m-1) = 13800
Postupnými úpravami dostaneme:
(m+1) * m * (m-1) = 13800
(m^2 - 1) * m = 13800
m^3 - m = 13800
m^3 = 13800 + m
Poslední rovnice říká, že když uděláme třetí odmocninu z 13800, dostaneme o malinko nižší hodnotu, než je prostřední člen, takže bude stačit zaokrouhlit nahoru a máme výsledek. To je jednoduché algrebraické řešení.
Marku, Pavle, Tome,
moc Vám všem děkuji...
Eva