Mathematicator
Vlastní čísla a vlastní vektory
Dobrý den,
mohl bych vás poprosit o nějaké názorné vysvětlení vlastních čísel a vlastních vektorů? Vůbec si to neumím představit.

Děkuji
Autor: Jiří H. | Poslední aktivita: 25. 12. 2018 22:34 | Zobrazeno 226x
ikonka Tomáš B. | 25. 12. 2018 17:16

Tohle téma vyžaduje pro dobré pochopení kombinaci vysvětlování, počítání a kreslení, kde je potřeba začít projekcemi mezi bázemi, studiem jejich vlastností a postupně se dopracovat až k aplikacím, ať už je to analýza, statistika nebo zpracování signálu (bez aplikací jsou eigenvektory hodně abstraktní téma). Zkus se podívat na videa na youtube, je tam toho celkem dost. A když budeš mít nějakou specifickou otázku, tak se zkus zeptat.
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Jiří H. | 25. 12. 2018 17:51

Nevím, jestli je to úplně blbá myšlenka, ale napadlo mě tohle:
Neznamená to, že matice je vlastně soubor nějakých vektorů, které když vynásobím vlastním vektorem, tak dostanu vektor, který je k násobkem vektoru jednoho z matice?
A zároveň platí, že součin vlastního čísla s vlastním vektorem je také nějaký k násobek jednoho vektoru z matice?
ikonka Tomáš B. | 25. 12. 2018 22:34

Vlastní vektor v matice A je takový vektor, pro který platí rovnost Av = λv.
To znamená, že projekce vektoru v z báze A je invariantní vůči rotaci a matice A vektor v pouze škáluje.
Jedná se o klíčovou vlastnost při studiu vlastností matice A, protože když Av = λv, pak také AAv = Aλv = λAv = λλv, a také AAAv = λλλv, atd.

V důsledku toho, že regulární matice A o velikosti NxN má právě N vlastních vektorů (určených vlastními čísly, obecně jich je nekonečně mnoho), existuje ve vektorovém prostoru daném bází A podprostor vlastních vektorů V, který je invariantní vůči rotaci maticí A.
To znamená, že libovolný vektor x v bázi A můžeš vyjádřit pomocí báze V, abys dostal velmi snadno interpretaci toho, co A s vektorem x udělá.

V mém popisu to zní složitější, než to je, ale chce to hodně kreslit a ukazovat souvislosti, jinak to zní takhle kostrbatě :-)
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.

Mathematicator 2019 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky | Ochrana soukromí