Mathematicator
Jakobián a jeho absolutní hodnota
Ahoj, mohl bych se zeptat, jestli někdo neví, proč se u transformace souřadnic bere pouze velikost jakobiánu?
Například determinant Jakobiho matice pro sférické souřadnice koule vyšel -r^2*sinθ, ale při transformaci se bere pouze jeho absolutní hodnota. Mohl bych se zeptat, jaký to má důvod?

Díky
Autor: Jiří H. | Poslední aktivita: 10. 06. 2019 1:40 | Zobrazeno 88x
ikonka Tomáš B. | 9. 06. 2019 18:54

Ahoj Jirko,

to je moc hezká otázka a jsou k ní potřeba dvě odpovědi.

Nejdřív si zkus spočítat obsah obrazce daného vektory [1, 0]' a [0, 1]' pomocí determinantu.
Protože se jedná o čtverec, vyjde ti podle očekávání hodnota 1.
Když ale změníš orientaci obrazce na vektory [0, 1]' a [1, 0]', je výsledkem determinantu hodnota -1, ačkoliv se jedná o stejnou plochu.

To znamená, že determinant zohledňuje orientaci vektorového prostoru a potřebujeme ho dát do absolutní hodnoty, pokud chceme tenhle efekt eliminovat, což v případě, kdy počítáme míru, obvykle chceme.

Druhá část odpovědi se týká toho, že topologický prostor vyjádřený různými způsoby bude mít odlišné vlastnosti.

To znamená, že třeba funkce dané kartézskými a sférickými souřadnicemi zobrazují z prostoru RxR do celého prostoru RxR, ale v určitém pevném bodě se oba prostory budou lišit něčím, co bychom mohli nazvat "hustotou" nebo také rychlostí s jakou se souřadnice pohybují prostorem.

Jiným hezkým příkladem mohou být zobrazení f(x)=x a g(x)=x*x na intervalu (0, 1).
Obě funkce se zobrazují na interval (0, 1), ale g(x) postupně zrychluje, zatímco f(x) je pohybuje konstantně vzhledem x.

Jakobián pak představuje funkci, která popisuje rozdílné vlastnosti během přechodu mezi zobrazeními, například mezi zmiňovanými kartézskými a sférickými souřadnicemi.
Když v určitém bodě spočítáš determinant Jakobiánu přechodu, dostaneš poměr mezi mírami obou prostorů v daném bodě (ve smyslu infinitezimálního okolí bodu) a můžeš přejít mezi zobrazeními, aniž by došlo ke změně charakteristiky.

Z toho by už mělo být jasnější, proč potřebujeme absolutní hodnotu determinantu Jakobiánu.
Pokud se z určitého pevného bodu pohneš nějakým směrem, pak determinant Jakobiánu přechodu říká, v jakém vztahu se budeš pohybovat v prostoru po přechodu.

Použitím samotné hodnoty determinantu bychom pro opačný pohyb získali hodnotu s opačným znaménkem, což nedává smysl.
To je stejné jako bys řekl, že doprava vyrazíš rychlostí 5km/h, zatímco doleva vyrazíš rychlostí -5km/h.

Z Riemannova integrálu se tohle chápe špatně, protože je jednorozměrný, i když jednodušší část celé myšlenky (se zobecněním na determinant) se z definice pochopit dá, z Lebesgueova integrálu to taky moc nejde, protože je hodně abstraktní.

Takže jestli tě tohle zajímá nějak víc, doporučuju podívat se na Riemann-Stieltjesův nebo Lebesgue-Stieltjesův integrál, kde podobné souvislosti od začátku bijí do očí a pochopíš i hodně dalších věcí okolo základních integrálů.


Tento příspěvek byl editován |
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Jiří H. | 10. 06. 2019 1:40

Ahoj,

velmi krásné shrnutí. Děkuji ti moc za tvůj příspěvek. Jednoduše a srozumitelně napsané. Ještě jednou díky! :)
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.

Mathematicator 2019 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky | Ochrana soukromí