Mathematicator
úkol z přednášky - Luboš Pick - Jak napálit matfyzáka
Kde je chyba?

-1 = -1^3 = -1^(6/2) = √(-1^6) = √1 = 1

Mám svůj typ ale u druhého rovnítka...

Ale jistý si tím nejsem...

Mohl bych Vás požádat o Váš názor?

Zdroj přednášky: https://www.youtube.com/watch?v=tB_z17TBrNg

Děkuji
Příloha (kliknutím zvětšíte):
příloha

Autor: Lubomír P. | Poslední aktivita: 7. 07. 2019 23:24 | Zobrazeno 100x
ikonka Tomáš B. | 7. 07. 2019 16:07

Je to chyták :) takže Lubošovi věřím, že i matfyzáci s tím mají problém

- první identita je špatně, protože definujeme -1 = -(1^3), ale -1 = (-1)^3 neplatí
- druhá identita by mohla být správně, pokud bychom definovali racionální mocniny pro záporná čísla; jinak identita nesplňuje podmínky obvyklé definice a pak neplatí důkaz o jedinečnosti řešení tolik potřebný pro identitu
- třetí a čtvrtá identita mají stejný problém jako druhá
- pátá identita by mohla platit pouze tehdy, pokud se omezíme na kladné hodnoty; jinak je chyba i tam
ikonka Martin S. | 7. 07. 2019 22:17

Ahoj, nechápu, proč by první identita neměla být správně, když uvážíme definici umocňovaní přirozeným exponentem jako opakované násobení. Výraz (–1)^n, n ∈ N, je, myslím, velmi profláklý.
ikonka Tomáš B. | 7. 07. 2019 23:24

Ahoj Martine, čekal jsem, jestli se někdo zeptá :)

Odpověď zase bude, protože je to chyták.

Základem důkazu by měla být jeho konzistence, a když uvážíš, že prostřední část pracuje s racionálními exponenty, je přirozené uvažovat celý výraz v racionálních exponentech.

Je to stejné, jako když budeš řešit rovnici v komplexním oboru a v určité části dostaneš vyjádření na podoboru reálných čísel, prostě "zmizí" imaginární část. Pak bys například mohl dojít k tomu, že rovnice má jednoznačné řešení nebo nemá žádné, ale to nebude platit na celém oboru.

A proč je to další chyták?

Zadání není úplné a nevíme, v jakém oboru se pohybujeme. Na komplexních číslech můžu s klidem říct, že špatně je až třetí identita, protože (-1)^(6/2) = i^6, přičemž zápis prvních rovností budu chápat pouze formálně.

Podobné příklady vždy vyžadují, abys postupoval velmi opatrně a opíral se o formalismy. Pokud začnu umocňováním přes přirozená čísla, musím v dalším kroku udělat extenzi na racionální (nebo reálná) čísla, což je nepříjemné.

Za daných okolností ovšem platí, že pravdu mohou mít všichni :)

Podobná otázka: kolik řešení má rovnice x^4 = 1?
A jestli jsem dobře popsal svoji myšlenku, měl bys jich najít mnohem víc než tři.
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.

Mathematicator 2019 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky | Ochrana soukromí