Mathematicator
Proč se diferenciál přepočítává jako dy/dx
Dobrý den, chtěl bych se zeptat, proč při přepočítávání diferenciálu při substituci u integrování to, co substituujeme, nejprve zderivujeme a pak napíšeme, že se to rovná dy/dx? Tzn. proč substituci zderivujeme a proč diferenciál přepočítáme jako dy/dx?

A možná ještě doplňující dotaz - co to znamená, že ne vždy musíme integrovat podle x? Je to podobné jako derivace? Tím myslím první derivace rychlosti podle času je zrychlení a existuje i derivace podle něčeho jiného - funguje to podobně i u integrace?
Autor: Zdeněk S. | Poslední aktivita: 1. 08. 2019 0:41 | Zobrazeno 93x
ikonka Tomáš B. | 30. 07. 2019 21:14

Ahoj Zdeňku, ona je to víceméně mnemotechnická pomůcka.

V příloze je výpočet, kdy udělám substituci x = g(t). Pro jednoduchost předpokládám existenci primitivní funkce F(x) a všechny kroky pak už plynou z derivace složené funkce. Na konci je vidět, že substituce za takových podmínek nutně vede ke vztahu g'(t) dt = dx.

Jako pomůcku pak můžeš používat právě "derivaci" samotné substituce:
x = g(t)
dx = g'(t) dt

Obvykle s výrazy dx nebo dt zacházíme, jako by byly součástí výrazu, aniž bychom museli řešit, co vlastně představují. Ovšem nakolik je to jen hraní si se symboly, ve smyslu Riemanova a Lebesgueova integrálu mají diference dx a dt více než jen symbolický význam, ale vzhledem k otázce bych už asi zacházel moc daleko.

Co se týká druhé otázky, označení proměnných (nebo funkcí), které si volíme (např. x nebo t) jsou čistě na nás, takže si můžu zvolit libovolné označení.

Pokud funkce představuje rychlost, pak fyzikální interpretace první derivace představuje zrychlení, to je jeden úhel pohledu. Stejnou interpretaci můžu aplikovat i naopak, takže integrál funkce interpretované jako zrychlení dává funkci rychlosti.

Příloha (kliknutím zvětšíte):
příloha
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Zdeněk S. | 1. 08. 2019 0:41

Děkuju :-)
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.

Mathematicator 2019 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky | Ochrana soukromí