Mathematicator
Důkaz přímý - liché číslo jako rozdíl kvadrátů
Hezký den,

chtěl bych se zeptat, jak by vypadal přímý důkaz toho, že každé liché číslo lze zapsat jako rozdíl dvou kvadrátů. Děkuji za odpovědi.

Autor: Vojtěch P. | Poslední aktivita: 3. 10. 2019 22:07 | Zobrazeno 72x
ikonka Tomáš B. | 3. 10. 2019 21:39

Ahoj Vojto,

Nejdřív se podíváš na sekvenci kvadrátů a všimneš si vzorce:
0, 1, 4, 9, 16, 25, ...

Když odečteš dvě po sobě jdoucí čísla, dostaneš:
1, 3, 5, 7, 9, ...

A pak už stačí jen formálně dokázat, že každý rozdíl dvou kvadrátů po sobě jdoucích přirozených čísel dává jedinečné liché číslo, a že každé číslo lze takhle vyjádřit:
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 = liché číslo

Výhodou je konstruktivní charakter důkazu, takže když mě zajímá vzorec např. pro 153, dostanu 153 = 77^2 - 76^2
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Vojtěch P. | 3. 10. 2019 22:02

Mockrát díky. Vojta
ikonka Tomáš B. | 3. 10. 2019 22:07

Jo a jestli potrebuješ formální důkaz v predikátové logice, tak ten by vypadal takhle:

∀k∈Z ∃a∈Z ∃b∈Z ( k=2n+1 => k=a^2 - b^2 )

∀k∈Z ( k=2n+1 => k=n^2 - n^2 + 2n+1 )
∀k∈Z ( k=2n+1 => k=(n+1)^2 - n^2 )
∀k∈Z ∃a∈Z ∃b∈Z ( k=2m+1 => k=(a+1)^2 - b^2 )

Poslední krok je substituce volných proměnných a převod na vázanou formu.
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.

Mathematicator 2019 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky | Ochrana soukromí