Mathematicator
Zajímavá úloha
Dobrý den, zde mám docela zajímavou úlohu, se kterou si nevím rady. Je možné, že je chyba v zadání?

Strana AB má délku 1. Na straně AB uděláme bod M a sestrojíme rovnostranné trojúhelníky AMP a BMQ.
1) Jaká je hodnota M, pro kterou má trojúhelník MQP nejvyšší obsah?
2) Jaká je hodnota M, pro kterou má čtyřúhelník ABQP nejvyšší obsah?
Už u jedničky jsem zadrhnutý. Pokud ty trojúhelníky jsou správně popsány, tak MQP je vždy přímka. Pokud jsou špatně popsány, a jeden z těch dvou bodů P,Q leží v opačné polorovině vůči AB, tak nevím, jak na to.

Autor: Michal D. | Poslední aktivita: 8. 10. 2019 21:07 | Zobrazeno 122x
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Michal D. | 6. 10. 2019 22:05

Když budu počítat, že místo BMQ to má být MBQ, tak se dostanu k tomu, že strana MP je x, strana MQ 1-x a že úhel PMQ je 60 stupňů. Jak teda spočítám obsah toho MQP?
(Je to matika druháku, žádné cosinovy věty a výpočet výšky z trojúhelníku na základě všech stran nepoužívejte, v podstatě jen Pythagorovu větu, podobnost trojúhelníků, thaletovu kružnici, goniometrické fce v pravoúhlém trojuhelníku apod., prostě základy)

Tento příspěvek byl editován |
ikonka Tomáš B. | 7. 10. 2019 0:38

Když si nejdřív sestrojíš rovnostranný trojúhelník ABC, tak zjistíš, že P leží na AC a Q leží na BC.

Pak už snadno spočítáš obsah MQP - je to kvadratická funkce s maximem v 0.5. To se dá udělat středoškolskými prostředky, ale současně je to vidět i od oka, pokud si představíš, co se děje, když hýbeš bodem M, a jak se AMP a BMQ musí zmenšit, aby co nejméně ukrojily z ABC.

Současně je vidět, že maximum ABQP musíš hledat v bodech 0 nebo 1, jenže to už není čtyřúhelník.

Podle popisu asi mluvíš o druháku na střední škole a v tom případě bych řekl, že (2) se správně vyřešit nedá kromě intuitivního argumentu, který jsem uvedl. Korektní argument používá hustotu reálných čísel a říká, že otevřená množina neobsahuje své vlastní maximum.
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Michal D. | 7. 10. 2019 7:43

Už nic, došlo mi to. Díky

Tento příspěvek byl editován |
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Michal D. | 7. 10. 2019 7:51

Jinak pro tu 2 se prostě sečtou obsahy těch tří trojuhelníků, z čehož vyjde taky kvadratická funkce.
ikonka Tomáš B. | 7. 10. 2019 19:04

Sestrojit tu funkci je lehké, těžká část je vysvětlit, proč nenabývá svého maxima, to je za hranicí učiva na střední.
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Michal D. | 8. 10. 2019 9:55

Napsal jsem to samozřejmě blbě-čtyřúhelník má mít obsah co nejmenší, což je jednoduché minimum kvadratické funkce.
ikonka Tomáš B. | 8. 10. 2019 21:07

:)) tak to už smysl dává
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.

Mathematicator 2019 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky | Ochrana soukromí