Mathematicator
limita s funkcema
Ahoj, nějaký nápad jak to vyřešit? Jsem seknutej hned na začátku :-(. Děkuji předem za rady.
Příloha (kliknutím zvětšíte):
příloha

Autor: Jiří R. | Poslední aktivita: 10. 12. 2016 14:38 | Zobrazeno 207x
ikonka Jan K. | 9. 12. 2016 19:16

Ahoj, Jiří.

Použiji pro počítačem psaný text přijemnější označení, exp(x) čti jako e^x.

Řešení spočívá v tom, že hrajete na jednu z takových tabulkových limit, a to sice lim x->0 exp(x) -1)/x, tato limita jde k jedničce, ověřit můžete dosazením z lim x->0 sinx/x a součtových vzorců, nebo kousek snáze L'hospitalem.

Tedy potřebujeme vykřesat ze zadání něco ve tvaru lim x->0 (exp(x) -1)/x.

Funkci ze zadání můžeme přepsat pomocí vytknutí e-čka na tvar e*(exp(cos^2(x)-1) -1)/(sin^2(x)/cos^2(x)).

Dále využijeme vztahu, že sin^2(x)=1-cos^2(x), nebo spíše -sin^2(x)=cos^2(x)-1, což je funkce x, kterou máme v exponentu eulerova čísla v čitateli.

Ze jmenovatele tedy vytkneme -1, abychom získali onen zmíněný -sin^2(x) a převedli. V tomto kroku zpráskáme rovnou i vzniklý složený zlomek. Dostaneme

(-1)*e*cos^2(x)*(exp(cos^2(x)-1) -1)/(cos^2(x)-1/cos^2(x)), nyní můžeme udělat mazanou substituci v limitě.

Vidíme, že cos^2(x)-1 je funkce x, která když x jde k nule, jde také k nule (cos(1^2)-1 = 0).

Před provedením substituce ještě rozdělme limitu na součin dvou limit a to sice

(lim x->0 -e*cos^2(x))*(lim y->0 (exp(y)-1)/y), ke y(x) = cos^2(x)-1
(to je proveditelné díky tomu, že funkce jde také k nule když jde x k nule).

Substituovaná limita má výsledek = 1 (to už je ta tabulková, odvozená), čili dostáváme

1*(lim x->0 -e*cos^2(x)), tady už jen dosadíme a dostáváme výsledek, že

(exp(cos^2(x)) -e)/(tg^2(x)). = 1*(-e)*cos(1)^2, čili -e.

Je to srozumitelné?
Díky za čas,
Jan.

Tento příspěvek byl editován |
ikonka DOTAZUJÍCÍ | Jiří R. | 10. 12. 2016 14:38

Ahoj, děkuji moc, už to chápu a moc mě to pomohlo.
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.
Informace
Toto je pouze testovací verze fóra a nemusí vždy fungovat správně, nicméně by základní funkčnost již měla být hotová. Budu rád za nahlášení jakékoli chyby a nápadů na zlepšení. V tomto pravém menu již brzy budou další doplňující ovládací prvky, které můžete navrhnout.


Mathematicator 2017 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky