Mathematicator
Extrém funkce a druhá derivace
Zdravím,
že tam, kde má funkce lokální extrém, musí být první derivace rovna nule (pokud existuje), j e pochopitelné. Derivace v bodě má geometrický význam směrnice tečny a v místě, kde má funkce extrém, je tečna rovnoběžná s osou x a funkční přírůstek (kladný nebo záporný) pokud z tohoto bodu odejdeme musí být tedy nulový. Že se této vlastnosti dá s výhodou použít právě pro hledání extrémů funkce , je tedy také logické. Existuje podobně logické zdůvodnění pro to, že když zkoumáme pomocí druhé derivace (pokud je nenulová), zdali extrém v bodě X je minimem nebo maximem, že platí:
f(X) > 0 – minimum
f(X) < 0 – maximum?
Tady mi představivost, proč to tak je, zcela chybí a ve všech zdrojích, kde jsem to hledal, je to pouze konstatováno. Pokud je i toto zcela zřejmé, tak se dopředu omlouvám za ignoranci.
Děkuji.

Autor: František F. | Poslední aktivita: 10. 02. 2015 9:19 | Zobrazeno 1235x
ikonka DOTAZUJÍCÍ | František F. | 7. 02. 2015 17:15

Samozřejmě jsem chtěl napsat:

f´´(X) > 0 – minimum
f´´(X) < 0 – maximum?
ikonka ADMIN | Marek V. | 9. 02. 2015 16:00

Dobrý den, Františku,

tohle je moc pěkná tázka a je na ní krásná odpověď, která se mě osobně hrozně líbí, ale moc čast to takto neučím, protože je to právě hodně těžké na představivost. Vysvětlím to na příkladu lokálního minima.

Představte si pro jednoduchost parabolu otevřenou nahoru, s minimem v bodě 0. Třeba funkci x^2.

Tak a jděte třeba z bodu mínus tři doprava a koukejte se co se děje s derivací (hezky je to vidět právě na spěrnici tečny) v bodě -3 je derivace hodně záporná, v bodě -2 je méne záporná, v bodě -1 je ještě mín záporaná, v bodě 0 je nulová, v bodě 1 je lehce kladná, v bodě 2 je trochu víc kladná, atd. tedy v celém tom průběhu nám první derivace rostla (z hodně záporných hodnot přes nulu ke kladným hodnotám). A když funkce roste, tak její derivace je kladná. Tedy když nám první derivace rostla, tak druhá derivace byla kladná. Takže tady je to spojení s kladnou druhou derivací a lokálním minimem.

je to jsané?
ikonka DOTAZUJÍCÍ | František F. | 9. 02. 2015 19:45

Dobrý večer Marku,

v podstatě si tu první derivaci původní funkce představím jako běžnou (novou) funkci a druhou derivaci jako první derivaci této funkce (té první derivace). Pak už stačí aplikovat to, co píšete nahoře a představa je na světě - alespoň doufám, že toto pochopení Vašeho výkladu je správné. Moc děkuji za názorné vysvětlení
František
ikonka ADMIN | Marek V. | 10. 02. 2015 9:19

Jojo, je to přesně tak.
Co si o tom myslíte vy?
Názory mohou psát jen přihlášení uživatelé. Pokud chcete napsat svůj názor, tak se prosím přihlašte z hlavní strany webu.
Informace
Toto je pouze testovací verze fóra a nemusí vždy fungovat správně, nicméně by základní funkčnost již měla být hotová. Budu rád za nahlášení jakékoli chyby a nápadů na zlepšení. V tomto pravém menu již brzy budou další doplňující ovládací prvky, které můžete navrhnout.


Mathematicator 2017 | Provozuje Marek Valášek | Technicky zajišťuje Jan Barášek | Obchodní podmínky