Zajímavá úloha
Dobrý den, zde mám docela zajímavou úlohu, se kterou si nevím rady. Je možné, že je chyba v zadání?
Strana AB má délku 1. Na straně AB uděláme bod M a sestrojíme rovnostranné trojúhelníky AMP a BMQ.
- Jaká je hodnota M, pro kterou má trojúhelník MQP nejvyšší obsah?
- Jaká je hodnota M, pro kterou má čtyřúhelník ABQP nejvyšší obsah?
Už u jedničky jsem zadrhnutý. Pokud ty trojúhelníky jsou správně popsány, tak MQP je vždy přímka. Pokud jsou špatně popsány, a jeden z těch dvou bodů P,Q leží v opačné polorovině vůči AB, tak nevím, jak na to.
Michal D.
08. 10. 2019 21:07
7 odpovědí
Když budu počítat, že místo BMQ to má být MBQ, tak se dostanu k tomu, že strana MP je x, strana MQ 1-x a že úhel PMQ je 60 stupňů. Jak teda spočítám obsah toho MQP?
(Je to matika druháku, žádné cosinovy věty a výpočet výšky z trojúhelníku na základě všech stran nepoužívejte, v podstatě jen Pythagorovu větu, podobnost trojúhelníků, thaletovu kružnici, goniometrické fce v pravoúhlém trojuhelníku apod., prostě základy)
Když si nejdřív sestrojíš rovnostranný trojúhelník ABC, tak zjistíš, že P leží na AC a Q leží na BC.
Pak už snadno spočítáš obsah MQP - je to kvadratická funkce s maximem v 0.5. To se dá udělat středoškolskými prostředky, ale současně je to vidět i od oka, pokud si představíš, co se děje, když hýbeš bodem M, a jak se AMP a BMQ musí zmenšit, aby co nejméně ukrojily z ABC.
Současně je vidět, že maximum ABQP musíš hledat v bodech 0 nebo 1, jenže to už není čtyřúhelník.
Podle popisu asi mluvíš o druháku na střední škole a v tom případě bych řekl, že (2) se správně vyřešit nedá kromě intuitivního argumentu, který jsem uvedl. Korektní argument používá hustotu reálných čísel a říká, že otevřená množina neobsahuje své vlastní maximum.
Už nic, došlo mi to. Díky
Jinak pro tu 2 se prostě sečtou obsahy těch tří trojuhelníků, z čehož vyjde taky kvadratická funkce.
Sestrojit tu funkci je lehké, těžká část je vysvětlit, proč nenabývá svého maxima, to je za hranicí učiva na střední.
Napsal jsem to samozřejmě blbě-čtyřúhelník má mít obsah co nejmenší, což je jednoduché minimum kvadratické funkce.
:)) tak to už smysl dává