Moivreova věta - Komplexní čísla
Dobrý den,
potřeboval bych prosím pomoct s jedním příkladem. Nebo spíš ne s příkladem, ale s principem, jak daný typ příkladů počítat.
Mám příklad (1+i)^33
Absolutní hodnota |Z| vyjde √2
cos fí a sin fí obě vyjdou √2/2, takže fí = π/4
Dostanu se až k (√2*(cos π/4 + isin π/4))^33
A potom se tam ještě nějak každý z těch úhlů násobí tím exponentem.
Ale dál si nevím rady. Když jsem koukal na jiné příklady, tak tam měli vždy exponent sudý, takže se to hezky s tou absolutní hodnotou z fí nějak vykrátilo.
A potom jsem měl ještě jeden příklad, kde cos fí vyšel √2/2 a sin -√2/2, to ale není v tabulce, ale má to být 7/4*π. Jak se na to přijde?
Děkuji a budu si cenit jakékoli rady.
Martin F.
22. 08. 2016 18:29
3 odpovědi
Martine, Moiveova věta říká, že mocnění jednotkového komplexního čísla (abs. hodnota je 1) odpovídá jeho rotaci proti směru hodinových ručiček.
Na mém obrázku bychom udělali 32x rotaci o π/4 doleva, ale protože to není jednotkové číslo, musíme si poradit ještě s jeho velikostí.
Numericky si číslo rozložíš, jak už jsi to udělal, a použiješ Moivreův vzoreček. V goniometrických funkcích dostaneš 8.25π, a protože perioda je 2π, zůstane ti jen π/4. Po umocnění amplitudy dostaneš 2^16.5, takže 65536*√2. A pak si všimneš, že výsledek obsahuje původní (1+i) a je hotovo.
Moc děkuji. Pomohlo mi to. Jen jsem narazil ještě na jeden problém. U jiného příkladu.
Příklad (-1+i)^15
Všechno vypočítám v pohodě a výsledek mi vyjde 2^7+2^7i
Mám spočítat imaginární část, ale ve výsledcích je prý správně -2^7
Na tento problém jsem už narazil u více příkadů, kde mi vyjde správně číslo, jen kladné znaménko místo záporného. Nevíte prosím proč? Nechtěl bych, aby to u přijímačky byla tipovačka mezi znamínky.
Moc děkuji za Vaši dosavadní pomoc.
Přikládám obrázek, jak jsem počítal.
Jenom numerická chyba, hned na začátku to není cos(7/4π), správně je to cos(3/4π).
Musí to být druhý kvadrant, 7/4 je ve čtvrtém kvadrantu.
Po umocnění vyjde cos(45/4π) = cos(5/4π), což je třetí kvadrant a číslo je (-1-i), obě znaménka záporná.