Exponenciální rovnice

Ahoj, nejdřív si rovnici trochu upravíme:

\(2^{ -1} \cdot 2^{ 2x^2-10x+13} + 4 = 5\cdot 2^1\cdot 2^{ x^2-5x+5} \)

\(2^{ 2x^2-10x+12} + 4 = 5\cdot 2^{ x^2-5x+6} \)

\(\left(2^{ x^2-5x+6} \right)^2 + 4 = 5\cdot 2^{ x^2-5x+6} \)

Substituce \(y = 2^{ x^2-5x+6} \)

\(y^2-5y+4 = 0\)

\((y-4)(y-1) = 0\)

\(y = 4\) a \(y = 1\)

Dosadíme zpátky:

První možnost: \(y = 1\)

\(2^{ x^2-5x+6} = 1\)

\(x^2-5x+6 = 0\)

\(x = 2\) a \(x = 3\)

Druhá možost: \(y = 4\)

\(2^{ x^2-5x+6} = 4\)

\(x^2-5x+6 = 2\)

\(x^2-5x+4 = 0\)

\(x=4\) a \(x=1\)

Celkem tedy \(x \in \left\lbrace 1,2,3,4\right\rbrace\)

Viz níže :