Bézierova křivka - evolventa
Zajímalo by mne, jak vyjádřit evolventu pomocí Bézierovy křivky. Znám počáteční bod P0 a koncový bod P3 evolventy (vždy X a Y souřadnice), a potřebuji určit parametrické body P1 a P2 pro kubickou Bézierovu křivku. Existují nějaké obecné vzorce pro výpočet parametrických bodů P1(x,y) a P2(x,y), když znám počáteční bod P0(x,y) a koncový bod P3(x,y) ? Počáteční bod leží na kružnici a je výchozím bodem evolventy. Prosím odpověď na mail [email protected], děkuji.
Antonin S.
15. 03. 2017 09:49
2 odpovědi
Evolventu takhle vyjádřit nelze, můžeme ji pouze aproximovat na nějakém (krátkém) úseku.
Jednoduchý argument proti:
Pokud by to bylo možné, dokázali bychom transcendentní funkce vyjádřit konečným polynomem.
To ale není možné, protože sin/cos mají spojité derivace nekonečného stupně, zatímco čtvrtá derivace kubiky je nulová.
Koncové body P0 a P3 znáš, stejně tak tečné vektory, takže máš představu, kde P1 a P2 leží.
Stačí si jen zvolit další dva mezibody na evolventě a přiřadit je vhodným hodnotám t pro B3(t), např. 1/3 a 2/3.
Je nutné si ale uvědomit, že kubika pak prochází body P0,E1,E2,P3, nikoliv evolventou.
Vedle přesnosti také může být nutné sledovat druhou derivaci, která je nenulová, a kubiky mají tu nepříjemnou vlastnost, že v prostřední části podléhají zrychlení.
Dobrý den.
Už jsem to vyřešil, děkuji za odpověď.
Na celou evolventu ro nejde, ale na část ano, potřeboval jsem to vyřešit u evolventy ozubeného kola. Ještě mi zbývá vyřešit průsečík dvou evolvent, kdy každá vychází z jiného bodu, tak to snad dám dohromady.
Děkuji za odpověď.