Příklad z kombinatoriky
Zdravím,
narazil jsem na příklad z kombinatoriky se kterým si nevím rady.
Zadání:
Máme v košíku 3 zelená a 2 červená jablka. Kolik různých barevných kombinací může nastat, vytahujeme-li 3 jablka?
Vypadá to jako primitivní úloha ale mate mě tam několik věcí. Vybírám z celkem 5ti jablek trojice a nezáleží na pořadí - takže to musí být kombinace s opakováním. Tady ale nastává problém - ve škole jsme dělali jen příklady, kde byly například v obchodě 4 různé značky džusu a my vybírali například 12 láhví - otázka byla kolik různých kombinací může nastat.
Tam jsme si to převedli na permutace s opakováním a uspořádávali jsme to do přihrádek. Bylo tam tedy 12 kuliček (lahví) rozdělených mezi 3 přihrádky (4 druhy džusu). Výsledek jsme dostali tak, že jsme vypočítali permutace s opakováním těch všech kuliček a přepážek dohromady (15 předmětů) -> P(12!,3!) = 455
Tady mám jakoby 5 kuliček a jsou rozděleny jednou přepážkou (2 druhy - zelená a červená jablka) ale problém je že nepočítám všechny různé kombinace těch 5 jablek ale pouze 3 (vytahuju z košíku 3 jabka).
Něco mi říká, že bych měl možná použít variace s opakováním když vybírám z více prvků méně ale nejsem si jistý.
Díky za odpověď
Tomáš K.
01. 04. 2017 08:33
3 odpovědi
Teď mě napadlo, že to co jsem napsal je asi kompletně špatně. Barvy se můžou opakovat, barvy jsou jen dvě a vytahuju 3 jabka. Takže na první tah můžou padnout 2 barvy, na druhý tah taky 2 barvy a na třetí taky dvě barvy to je 2x2x2 = 8 ale jelikož červená jabka jsou jen dvě tak nikdy nemůže padnout jedna z možností, kdy bude červene-červené-červené za sebou takže 8 - 1 = 7?
Je to prosím dobře?
Ahoj Tome, tvoje úvaha je nejen správná, ale taky skvělá, protože ukazuje, že jsi problém pochopil, místo abys jen zkoušel poslepu použít vzorečky.
Je víc způsobů, jak to spočítat.
Například můžu sčítat permutace jednotlivých výběrů (to je přímý výpočet): 3Z0C (3 zelená, 0 červených) = 1 permutace 2Z1C (2 zelená, 1 červené) = 3 permutace 1Z2C = 3 0Z3C = 0 (3 červená nemáme) 1 + 3 + 3 = 7
Nebo můžu počítat doplněk všech možností (i těch nesprávných).
Mám 3 pozice a každá má 2 možnosti, Z nebo C.
To si můžeme zapsat jako 000, 001, 010, ... celkem 2^3 možností, to je 8, ale 1 musíme odečíst (111=CCC), takže 7.
Druhá možnost odpovídá tomu, jak jsi to počítal ty, jenom to vysvětluju trochu jinak.
Proti prvnímu postupu je lepší, protože si ušetříme práci a o to skvělejší je, že jsi na tenhle postup přišel.
Dej pozor, pokud bys měl počítat výběr 4 jablek, kdy ti barvy dojdou před poslední pozicí.
Pak se to zkomplikuje a můžeš dojít k nesprávnému výsledku.
Nejlepší je vždy přijít alespoň na 2 způsoby, jak to spočítat a ověřit si stejný výsledek.
Co třeba takhle: vezmu si všechny permutace 5 jablek, to je 5!/3!/2! = 10
Mám 10 různých permutací 5 jablek a dívám se jen na první 3 pozice (za 3. pozicí je přihrádka).
Kolik permutací musím odečíst kvůli posledním dvěma pozicím?
To nastane jen tehdy, když mám XXX|ZC nebo XXX|CZ, v tom případě na prvních 3 pozicích existují 3 permutace.
Takže 10 - 3 = 7, třetí postup opět vrací stejný výsledek.
Držím palce, Tomáš
Díky za odpověď !