F(x): y=(-2)^x?
Dokázal by mi prosím někdo vysvětlit, jak přesně (ne)funguje tato funkce? Když do x dosazuji čísla, zdá se, že kalkulačka odpovídá podle toho, jak se jí zrovna chce. Graf si nedokážu nějak představit a na internetu jsem toho taky moc nenašel. Má to co dělat s komplexními čísly? Nepamatuji si, že bychom na škole něco takového probírali.
P.S. Geogebra to vzdala :(
Jiří H.
27. 09. 2017 00:00
5 odpovědí
Ahoj Jirko, v reálných číslech je tahle funkce hrozně zrádná. Je totiž definovaná v nekonečně mnoha bodech a současně v nekonečně mnoha bodech definovaná není. V těch bodech, ve kterých je definovaná je, má stejné hodnoty jako 2^x, A teď k těm bodům, kde definovaná není. V podstatě se jedná o všechnybody, které lze napsat jako zlomek, kde čitatel je lichý a jmenovatel sudý. Ukážu to na příkladu (-2)^} (1/2). Tady je to vlastně odmocnina z mínus dvou. což je v R problém. A stejně se to bude chovat, když budeš mít třeba x=3/2. druhá odmocnina z mínus dvou na třetí. atd atd. prostě kdykoli tam bude lichá mocnina a sudá odmocnina, máš problém.
Pokud bychom to brali v komplexních číslech, tak tam to samozřejmě už problém nebude, protože umíme dělat sudé odmocniny ze záporných čísel. Pak je ale potřeba si říct, jestli x může být komplexní nebo jen reálné. Tedy jestli je to funkce z R do C nebo z C do C. Ale to už je vyšší dívčí. Komplexní analýzu moc neumím.
Ahoj, souhlasím se vším, co napsal Marek. Jen ne s tím, že pro neproblémové hodnoty x bude mít stejné hodnoty jako 2^x. Myslím, že právě pro liché x bude mít hodnoty –2^x, kde je x vlastně ten lichý čitatel, který ponechá zápornost a sudý jmenovatel (sudá odmocnina) to potom právě může pokazit.
Martin má pravdu. Zapomněl jsem na liché jmenovatele. V sudém čitateli se to umocní na kladné číslo, čili hodnota bude kladná, tedy stejná jako u 2^x. Ale u lichých jmenovatelů to bude záporné.
BTW. docela by mě zajímalo, jak to bude vypadat v iracionálních bodech. Martine, nevíš náhodou?
Ahoj kluci, ona je tahle funkce ještě zrádnější, než se zdá.
Pokud začneme celými odmocninami, pak k^(1/n) definujeme jako číslo x, které vyhovuje rovnici x^n=k. Existenci takového x lze ukázat přes konstrukci určité množiny, jejíž infimum je řešením. Právě tuhle rovnici lze ale využít k definici liché odmocniny nad záporným základem, což není moc hezké, ale je to praktické.
Stejně tak racionální mocniny můžeme dodefinovat podobným způsobem, ale musí se u toho dořešit některé problémy, jako je například jedinečnost řešení.
U iracionálních mocnin je to trochu zajímavější. V limitách posloupností jste se učili, že pro každé reálné číslo A existuje neklesající posloupnost A(n) racionálních čísel taková, že lim A(n) = A. Potom lze také ukázat (z vlastnostní monotonních omezených posloupností), že pro kladný základ k bude lim k^A(n) = k^A. Tedy obecnou reálnou mocninu definujeme jako limitu posloupnosti s určitými vlastnostmi.
Jenže u záporného základu se to komplikuje už pro racionální mocniny. Můžu si například definovat racionální posloupnost A(n)=(3n+1)/2n, pro n=1,5,9,13,... Potom lim (-2)^A(n) = 2^(3/2). Nebo si definuji racionální posloupnost B(n)=(3n+1)/2n pro n=3,7,11,15,... Potom lim (-2)^B(n) = -(2^(3/2)). Tohle v podstatě znamená, že si můžu vybrat, jestli (-2)^(3/2) je kladné nebo záporné.
Zdá se mi, že nad zápornými základy se přimhouří oči a některé případy se uměle dodefinují. Plnohodnotná a funkční definice ale přijde až v komplexních číslech.
Aha, tak díky za odpověď :D netušil jsem, že to bude až takhle složitý