Řešení rovnice

Dobrý den, Honzo,

zatím mě žádné analytické řešení nenapadá, ale to neznamená, že to nejde. Jenom se zeptám, co studujete? Nebo kdo Vám zadal tenhle příklad? Jde mi o to, jak pokročilou matiku můžu používat....

1. ročník MatFyzu

(1 - x) / exp(x) = 2 1 - x = 2 exp(x)

1. substituce x=ln(z)

1 - ln(z) = 2z

ln(e / z) = 2z

e / z = exp(2z) 2e = 2z exp(2z)

2. substituce y=2z

2e = y exp(y)

A pokud smyslem úlohy není odvodit Lambertovu W funkci, máme tu transcendentální rovnici bez řešení v uzavřeném tvaru.

Analyticky ji tudíž řešit nelze.

Ahoj Tome,

díky moc. K tomu poslednímu řádku jsem se dopracoval taky, ale ten závěr už jsem nevěděl :-).

Ok, děkuji za rady. Dává to smysl. Rovnic v zadání bylo více, ostatní jsem dal dohromady, tady u té tedy nelze analyticky řešit.

Přibližně by šlo bez počítače řešit asi tak, že si narýsuji graf lineární fce y= x-1 a druhé exponenciální fce y= 2.e^x a řešením bude x souřadnice průsečíku grafů fcí.

Děkuji, JM.

Honzo, nedá mi to a nahodím udičku mladému nadějnému matfyzákovi...

Úloha se dá řešit numericky i bez počítače, použije se Newtonova metoda.

1. řešíme rovnici: 2 exp(x) + x - 1 = 0
2. odhad řešení: x[1] = 0
3. iterace: x[i + 1] = x[i] - (2 exp(x) + x - 1) / (2 exp(x) + 1)

Po dvou krocích dostaneme řešení x[3] = -0.374822 platné na 6 desetinných míst.

Jenže počítat exponenciální funkci bez počítače je opruz.

(2 exp(x) + x - 1) / (2 exp(x) + 1) = 1 + (x - 2) / (2 exp(x) + 1) ~ 1 + (x - 2) / (3 + 2x + x^2 + x^3/3)

Takže mám nový iterační vzorec: x[i + 1] = x[i] - (1 + (x - 2) / (3 + 2x + x^2 + x^3/3))

Tentokrát dostanu x[3] = -0.374184 platné na 3 místa.

Děkuji za udičku :) Jak vidím, tak Newtonova metoda je něco na řešení rovnic, jako vzorec pro odmocnění čísla, pokud máme přibližný odhad o velikosti výsledku odmocňování (x) => odmocnina z čísla a = x/2 + a/2x. A po opakování s předchozím lepším odhadem se dostaneme na více a více platných míst.

Píšu si to.

Díky. JM.