Úloha Matematika+
Ahoj,
dokázal by mi někdo poradit s následující úlohou z Matematiky+ z roku 2015? První dvě úlohy mi nedělají problém, až ta poslední.
V Kocourkově vydláždili cestu od radnice kulatými dlaždicemi.
První den položili jednu dlaždici s průměrem 51 cm, druhý den dvě dlaždice s průměrem 52 cm, další den tři dlaždice s průměrem 53 cm atd. Až do konce pokračovali podle stejného pravidla. Každý den položili o 1 dlaždici více než v předešlém dni a zároveň se průměr dlaždic zvětšil o 1 cm. Poslední den položili největší počet dlaždic, a to s průměrem 130 cm.
Vypočtěte, kolik dlaždic na cestě mělo průměr 130 cm. [80]
Vypočtěte, kolika dlaždicemi v Kocourkově vydláždili celou cestu. [3 240]
Vypočtěte průměr dlaždice, která byla položena na cestě jako tisící v pořadí. [95 cm]
Ondřej S.
28. 12. 2017 20:17
4 odpovědi
Ahoj Ondřeji,
s průměrem 51 cm je tam 1 krát, s 52 cm 2 krát, ... každá další zabírá vždy určitý počet pořadových míst, přičemž se vždy tento počet o 1 zvyšuje. Takže třeba dlaždice s průměry 51 cm až 60 cm zabírají 1+2+3+...+9+10 = 55 pořadových míst, ale to např. znamená, že poslední dlaždice s průměrem 60 cm je položena na 55. pozici. Zkus to na zákadě tohoto již vyřešit. Kdyby to nešlo tak napiš, ale alespoň navrhni nějaké nápady.
Martin
Napadlo mě tohle.
Od výsledku se ale liším o jedničku. Hádám, že špatně zaokrouhluji. Hledané x přece musí být přirozené číslo. √8001 je přibližně 89,448309095. Kdybych toto zaokrouhlil na 90, tak bych pak mohl 44,5 zaokrouhlit na 45 a výsledek by seděl.
Jdu na to správně?
Problém je právě v tom, že u rovnice 1 + 2 + ... + x = 1000 nám x vyjde pěkně (přirozeně) pokud ta 1000. pozice je právě poslední pozicí pro ten průměr, jenž je tam zastoupen x–krát. Určitě nezaokrouhlovat! Přibližný výsledek té rovnice je 44,22; teď je potřeba to interpretovat. Znamená to jednak, že na 1000. pozici není jako poslední zástupce žádného průměru (což pro nás není podstatné); a dále lze intuitivně soudit, že číslo 44,2 nám říká, že na 1000. pozici nebude cihla s počtem zastoupení 44, neboť tento počet zkrátka nestačí, a to ani na poslední pozici v tomto bloku (to by vyšlo 44 rovných); tedy už nutně to musí být cihla v počtu zastoupení 45, což ukazuje na 95 cm průměry.Také dobré provést zkoušku, pro x = 45 vychází 1 + 2 +3 + ... + 45 = 1035, takže poslední cihla s počtem zastoupení 45 je na 1035 pozici, tudíž první je na 991. pozici. (na 990. pozici je poslední cihla pro x = 44).
Martin
Děkuji za pomoc, už je mi to jasné.