Problém s odmocninami
Ahoj, v poslední době jsem narazil na příklad : -1=(-1)^3=(-1)^6/2=√(-1)^6=√1=1
Samozřejmě to nemůže vycházet a zajímalo by mě, kde je chyba. Doufám, že mi pomůžete. Děkuji
Ondřej Ž.
04. 01. 2018 16:29
4 odpovědi
Ahoj Ondřeji,
problém je v tom, že umocňování obecným racionálním číslem je definováno (povoleno) pouze pro kladná čísla, tedy i rovnost (-1)^3=(-1)^6/2 je chybná. Na tomto příkladě je právě vidět, proč tak činíme. Problematické je pak i výběr pořadí operací, který volíme u umocňování zlomkem 6/2, neboť pokud připustíme, že to, co platí pro kladná čísla, platí i pro záporná, tak (-1)^6/2 = [√(-1)]^6 ... nelze v reálných číslech provést X trochu ironií je, že v komplexních by vyšlo "správně" i^6 = (i^2)^3 = (–1)^3 = – 1. Takže zkrátka pro záporné základy je umocnování obecným racionálním číslem problematické, neboť spousta zákonitostí tam neplatí (vedou ke sporu - např. tato rovnice).
Díky
Odmocnina z -1 má dva kořeny, +i, -i. Podobně odmocnina z +1 má rovněž dva kořeny, totiž +1 a - 1. Napravo kdosi záměrně napsal ovšem nevyhovující kořen odmocvnina z (+1) = +1, předstíraje, že druhý není. Takže obojí povýšeno na šestou dá samozřejmě -1, prostě (i)^6 = ((i)^2)^3 = (-1)^3 = -1 , nebo také ((i)^3)^2 = (-i)^2=+i^2=-1. Takže +1 uvedená napravo je nesmysl. Je tam prostě záměrně vybraný nevyhovující kořen.
K příspěvku MILAN K. - odmocnina nemá dva kořeny - výsledek odmocnění je přesně definován.
To, co jste chtěl nejspíš říct, je, že rovnice \(x^2 = 1 \text{ resp. } -1\) má dvě řešení.