Úloha z MO-planimetrie
V lichoběžníku V ODY platí, že V O je delší základnou, průsečík úhlopříček K dělí
úsečku V D v poměru 3 : 2 a obsah trojúhelníku KOV je roven 13,5 cm2
. Určete obsah celého lichoběžníku.
Dobrý den, řešil jsem MO a toto byla jediná úloha, se kterou jsem si při řešení nevěděl rady.
Školní kolo již skončilo, a tak by mne zajímal výsledek, ať, když bude něco obdobného v okresním kole, ať vím, jak na to.
Děkuji.
Michal D.
14. 01. 2018 00:13
4 odpovědi
Ahoj Michale,
využil bych podobnosti trojúhelníků KVO a KDY, kde podle zadání víme, že poměr podobnosti je 3/2, takže i poměr |VO| =: a; |YD| =: c je stejný, stejně tak jako poměr výšek (v_1, v_2) těch trojúhelníků. Obsah trojúhel. KDY S_2 je dán podle S_1/S_2 = (av_1)/(cv_2) = a/c * (v_1/v_2) = (3/2)^2. Celkový obsah lichoběž. je S = (a+c)/2 * (v_1 + v_2) = 1/2 * (av_1 + cv_1 + av_2 + cv_2). Tudíž je třeba pomocí S_1 a S_2 vyjádřit výrazy av_1 + cv_1 + av_2 + cv_2; to už nechám na tobě. :-)
Martin
Ahoj Martine, možná tam máš nějakou myšlenku, na kterou jsem nepřišel, ale přijde mi to zbytečně složité (klidně mě vyveď z omylu).
Použiju jen obsah trojúhelníku a trojčlenku: |VOD| = 5/3 * |KOV|, protože při stejné výšce hýbu jen základnou |VODY| = 5/3 * |VOD|, protože na základnu VD se snáší výšky obou trojúhelníků, které mají lineární vztah (což je trojčlenka, ale také plyne z podobnosti)
A kde jsi vzal těch 5/3? Když poměr je 3:2?
Když je A dlouhá tři dílky a B je dlouhá dva dílky, tak mají v součtu 5/3 * A.