Rovnice - slovní úlohy
Ahoj, narazil jsem na jeden zajímavý příklad. Podařilo se mi ho spočítat, ale nejsem si úplně jistý. Děkuji za případné řešení, tady je:Velitel svolal ostatní obránce hradu a rozhodl, jak se rozdělí o svou odměnu:
„První si vezme jeden zlaťák a sedminu zbytku, druhý si vezme dva zlaťáky a sedminu
nového zbytku a tak dále. Tedy n-tý obránce si vezme n zlaťáků a k tomu ještě sedminu
ze zbývajícího množství zlaťáků, dokud nějaké budou."
Takto se podařilo rozdělit všechny zlaťáky a přitom všichni obránci dostali stejně.
Kolik obránců se dělilo o odměnu?
Filip Z.
23. 03. 2018 22:55
3 odpovědi
Ahoj Filipe, opravdu zajímavá úloha. Já postupuji takto: protože se podařilo všechny zlaťáky rozdat, musí nutně ten poslední p-tý sebrat "p" zlaťáků a nesmí nic zbýt (jinak by zbylo 6/7 z kladného čísla = kladné číslo a nebyl by posledním kdo "tahal"). Nechť "b" je počet zlaťáků, ze kterých "tahal" předposlední obránce, tj. (p–1)-tý. Pak se "x" musí rovnat výrazu 6/7 * (b – (p – 1)), neboť (p–1)-tý obránce z "b" zlaťáků vybral (p – 1) a pak 1/7 ze zbytku => zbylo 6/7. A z podmínky, že všichni mají stejně (tj. i p-tý a (p – 1)-tý), plyne rovnice 1/7*(b – (p – 1)) + (p – 1) = p. Řešením podle mého výpočtu je (p; b) = (6; 12), kde p určuje i počet obránců.
Protože si nejsem jistý, jestli z těchto podmínek již plyne, že i ostatní obránci dostanou stejně, tak jsem to ověřil a myslím, že vyhovující počáteční počet zlatáků existuje, je právě jeden a roven číslu 36.
Martin
Ahoj Martine. Já postupoval takto:Označme počet obránců p. Poslední p-tý obránce si vzal p zlaťáků, a tím byly rozebrány všechny zlaťáky. Všichni obránci dostali stejně, každý proto dostal p zlaťáků.Obránci se tedy dělili celkem o pˇ2 zlaťáků. První obránce si vzal jeden zlaťák a sedminu zbytku, pročež platí 1 + 1/7*(pˇ2 - 1) = p a po úpravě pˇ2 - 1 = 7*(p - 1). Levou stranu v této rovnici lze vyjádřit jako pˇ2 - 1 =(p + 1)*(p - 1). Ze zadání plyne, že p > 1, tudíž p − 1 > 0 a předchozí rovnice je ekvivalentní s rovnicí p + 1 = 7 tedy p = 6. A po dosazení do tabulky závislostí zjistíme, že se dělili skutečně o 36 zlatých.
Díky za tvůj postup.
Filip
Já děkuju za tvůj postup – podle mě mnohem elegantnější a jednodušší, především díky uvědomění si, že "p" již určuje počet zlaťáků jako p^2.
Martin