Pravděpodobnost - kovbojský duel
Dobrý den,
Rád bych se zeptal na jeden příklad na pravděpodobnost. Dva kovbojové v Texasu (Joe a Bill) se právě ocitli v pistolnickém duelu. Duel probíhá tak, že vždy vystřelí jednou Joe a pak Bill (střídají se) , dokud jeden z nich nezasáhne toho druhého a nevyhraje tak duel. Joe má pravděpodonost 25% ,že zasáhne cíl a Bill 50%. Joe jakožto horší střelec má tu výhodu, že začíná.
Otázka zní: Jakou pravděpodobnost na výhru v duelu mají Joe a Bill?
moje úvaha je taková: Joe má při první střele šanci 1/4, pokud však netrefí má 50% šanci, že bude moci střílet znovu ( a mít tak znovu šanci 1/4), tedy bych k počáteční 1/4 přičetll 50% z 1/4 = (1/8), pokud Bill dvakrát netrefí (šance 25%) dostane Joe znovu šanci střílet ,takže bych příčetl (25% z 1/4) = 1/16 a tak dále donekonečná,
Z mé (doufám pochopitelné úvahy) vyplývá, že Joeovu pravděpodobnost na úspěch v duelu představuje součet nekonečné geometrické řady : 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 ........., který konverguje k 1/2 , (Joeova šance je 50%)
Pokud tedy chápu tuto úlohu správně, tak oba pistolníci mají stejnou šanci na úspěch a Joeova horší šance trefit cíl je plně vykompenzovaná tím,že mu Bill dovolil střílet jako první.
Moje otázka na Vás je tedy jednoduchá :) Je moje úvaha a můj výpočet správný? :)
Jan H.
08. 04. 2018 01:02
12 odpovědí
Ahoj Honzo,
tvoje úvaha je správná, ale tvoje zacházení s pravděpodobností nikoliv.
Stojí za zmínku, že se jedná o podmíněnou pravděpodobnost, ale spočítáme to bez ní, aby to bylo jednodušší.
Nejdřív je potřeba určit jednotlivé jevy, které se budou vzájemně vylučovat, abys je mohl korektně sčítat.
Nás v tomhle případě budou zajímat jevy, kdy Joe vyhraje v K-tém tahu, tedy při 1. výstřelu, 3. výstřelu, 5. výstřelu, atd.
Všimni si, že žádné dva z jevů nemůžou nastat naráz, což zajišťuje disjunktnost a nezávislost.
Jaké jsou pravděpodobnosti?
p(Joe vyhraje při 1. výstřelu) = 1/4
p(Joe vyhraje při 3. výstřelu) = 3/4 * 1/2 * 1/4
p(Joe vyhraje při 5. výstřelu) = 3/4 * 1/2 * 3/4 * 1/2 * 1/4
Proč je druhá pravděpodobnost taková, jaká je?
Aby Joe vyhrál ve 3. tahu, musí nejprve minout, pak mine Bill a pak se Joe trefí.
Takže hledáme ppst, kdy nastanou současně 3 elementární jevy - Joe mine, Bill mine, Joe trefí - a musíme tedy pravděpodobnosti násobit.
Správná úvaha pak vede na geometrickou řadu s prvním prvkem 1/4 a kvocientem 3/8, jejíž součet je 2/5.
V obecném případě, pokud by se Joe trefil s ppstí P a Bill s ppstí Q, není těžké odvodit šanci na Joeovu výhru: P / (P + Q - PQ), což je poměrně intuitivní závěr, Joeova šance je poměr jeho dovednosti P vůči součtu dovedností obou hráčů P + Q, ale musíme odečíst jejich průnik PQ, což plyne z principu inkluze a exkluze.
Díky za odpoveď Tomáši :)
A kdybys měl chuť si procvičit pravděpodobnost, tak tady je hezký příklad.
Joe a Bill naráz vystřelí na plechovku (každý na svoji). Joe se trefí s 50% pravděpodobností a Bill se trefí s 50% pravděpodobností.
Když jeden z nich sestřelil plechovku, jaká je šance, že se v tu chvíli trefil i ten druhý?
Existují čtyři možnosti:
- J trefí B netrefí
- J netrefí B netrefí
- J netrefí B trefí
- oba trefí
Pouze čtvrtá možnost je příznivá, P = 1příznivá/4 možné = 1/4 = 25%
Pokud bych se na to díval však z pohledu jednoho z nich, který již sestřelil plechovku (jistý jev) a jen čeká až se půjde podívat jak dopadl ten druhý (střileli naráz, ale mohli být daleko od sebe, takže neznají výsledek toho druhého) , pak by šance byla 50%.
Měl bych ještě jeden dotaz :)
ruská ruleta, v bubínku je 6 míst a právě jeden náboj a před každým dalším tahem se NEPROTÁČÍ bubínek,
šanci na smrt mají hráči TĚSNĚ před svým tahem 1.hráč .....1/6 2.hráč......1/5 3.hráč......1/4 4.hráč......1/3 5.hráč......1/2 6.hráč.......jistá smrt
Druhý hráč má však šanci 1/6, že nebude vůbec muset hrát, protože se první hráč zabije, 3.hráč má 1/6 šanci, že se zabije 1. hráč a 1/6 šanci, že se zabije 2 hráč a tak dále....
Je tedy šance na přežití stejná pro všechny?
Odpověď na moji úlohu je, bohužel, špatně.
Odpověď na tu tvoji je, že hra je férová, mají stejnou šanci.
Musíš si vytvořit systém disjunktních jevů, jinak se nedopočítáš, protože se (asi jako většina) snažíš řešit úlohy intuitivně a to nefunguje.
Když si s tím dáš práci, jsou to triviální úlohy a v tomhle případě si stačí jako jev stanovit počet hráčů, kteří drželi pistoli.
Pak už se to dá spočítat na prstech jedné ruky (pokud máš teda 6 prstů).
Mohl bys tedy prosím popsat správné řešení tvé úlohy?
To by nebyla zábava :-)
Pravděpodobnost u ruské rulety je tedy taková:
1.hráč...... 1/6 2.hráč......(1/5)(5/6) 3.hráč......(1/4)(5/6)(4/5) 4.hráč......(1/3)(5/6)(4/5)(3/4) 5.hráč......(1/2)(5/6)(4/5)(3/4)(2/3) 6.hráč......(1/1)(5/6)(4/5)(3/4)(2/3)(1/2)
Jj
Mimochodem, máš pěknou kočku :) (až na to,že se tváří jako Hitler)
Ještě bych se rád vrátil k ruské ruletě :)
Našel jsem na youtube velmi zajímavé video ohledně ruské rulety, určitě doporučuji se podívat :)
https://www.youtube.com/watch?v=fk0O_cdBbMg
Jen tak pro cvik jsem si zkusil vypočítat pravděpodobnost: (není to úplně z videa poznat, ale předpokládám šestimístný zásobník ). Můžeš mě zkontrolovat jestli to mám správně :)
1.tah (červená čelenka): 1/6 = 16.67% 2.tah (modrá čelenka) : (1/6) * (5/6) = 13.89% 3.tah (červená čelenka): (2/6) * (5/6)^2 = 23.32% 4.tah (modrá čelenka) : (2/6) * (5/6)^3 = 19.29%
Červená čelenka je samozřejmě trochu hlupec, že přistoupil na pravidla, kdy začíná a zásobník se PROTÁČÍ a navíc se ještě rozhodne před svým dalším tahem přidat druhý "náboj" :D
Řekněme, že se dívám na situaci jako nezaujatý pozorovatel, který předem ví, že červená čelenka se rozhodne přidat v 3.tahu další náboj. (pokud se do 3.kola dostane)