Nápad na video - zajímavá rovnice
Ahoj,
Nedávno jsem narazil na zajímavou rovnici: x^x^x^x^x^x^x^x^x^x^x^x^x^x^x^x.......= 2 Vím, že výsledek je x = odmocnina ze dvou, ale myslím, že by stálo za to natočit o tom video, kde bys mohl vysvětlit podrobnosti proč to tak funguje a přidat nějaké matematické souvislosti. Sám bych na to byl zvědavej a myslím, že by se to mohlo lidem líbit. :)
Jan H.
27. 04. 2018 10:30
8 odpovědí
Ahoj Honzo, díky za námět. Chápu to správně, že to umocňování je tam nekonečné?
Ano
Hele a ty víš jak tu rovnici vyřešit? Protože mě zatím žádný postup nenapadá....
Kdybys chtěl najít odhad, aby bylo jednodušší rovnost dokázat, stačí vyřešit exponenciální rovnici:
x^x^... = 2
ln(x^x^...) = ln2
x^x^...lnx = ln2 2lnx = ln2
x^2 = 2
Jedná se ovšem pouze o odhad, nikoliv o řešení.
Pro důkaz musíš vzít x^x^... a pracovat s ní jako s posloupností. Pro korektní důkaz už jen stačí ukázat, že je monotonní a omezená a horní mez je právě ta hodnota, kterou jsme už našli.
Tome, já jsem asi úplně zabržděnej nebo co, ale nechápu jak se z třetího řádku dostaneš na čtvrtej. K tomu třetímu jsem došel už dřív taky, ale skončil jsem tam. Díky.
Ahoj, pokud se do toho můžu vložit, tak myslím, že se jedná o dosazení z prvního řádku x^x^... = 2.
Ano, Martin má pravdu, pracujeme s indukcí, a pokud f(f(f(...))) konverguje k nějakému y, potom f(f(f(...))) = f(y)
Dokonce bychom ani nemuseli aplikovat logaritmus, ale díky němu je ihned vidět, že ve třetí řádce dostaneme ten samý výraz jako v první řádce.
Když to řeknu jinak, je to úplně obyčejná řada (ve smyslu spočetnosti), jenom nesčítáme, ale mocníme.
Jaj, chlapi díky. No to jsem teda jelito :-).