Rovnice s neznámou v základu i exponentu

Ahoj Benedikt,

prepáč za neskorú odpoveď. V prvom rade musím povedať, že je to naozaj výborná otázka. Odpoveď je veľmi zaujímavá. Vo všeobecnosti takú rovnicu nemôžeme vyriešiť (v tomto zmysle to znamená, že nie je možné nájsť tzv. uzavretý tvar ako výsledok, ináč povedané, keď je zadaná rovnica, nevieme nájsť presný výsledok ako napr. pi/2 alebo sqrt(2)). Samozrejme sú prípady, kedy sme si úplne istí, aký je výsledok, napríklad x^x=27, ako si sám napísal. Je jasné, že výsledok je x=3, no nepoužil sa na to žiadny konkrétny postup, ktorý by sa dal aplikovať aj na iné rovnice tvaru x^x=z.

Vo všeobecnosti (a najčastejšie) riešime tieto rovnice numericky, tzn. že nenájdeme presný výsledok, ale určíme riešenie s dostatočnou presnosťou. Jedna takáto celkom jednoduchá metóda sa nazýva Newtonova metóda. O nej môžeš na internete nájsť toho veľmi veľa, napríklad aj na Wikipédii.

Ak ťa táto odpoveď neuspokojila, je tu aj ďalší spôsob. Veľmi abstraktný, ale nádherný. Dúfam, že súhlasíš, že každá rovnica podobného tvaru sa dá zapísať ako f(x)=a (kde a je poprípade 0). V určitých prípadoch existuje inverzná funkcia k f(x) (nie je to však pravidlo). Nazvime túto inverznú funkciu g(x). Potom je riešenie tejto rovnice x=g(a). Skúsim podať intuíciu, prečo by takáto inverzná funkcia mala (resp. nemala) existovať pre náš prípad. Inverzná funkcia má zrkadlovo obrátený graf pôvodnej funkcie. Ak aj teda tento graf reprezentuje funkciu, inverzná funkcia existuje (samozrejme je to len intuícia, naviac takáto funkcia nemusí byť jednoznačne určená). Ak by sme videli graf našej funkcie x^x, a zrkadlovo by sme ho obrátili, zistili by sme, že inverzná funkcia neexistuje. Celkom sklamanie. Ale to nevadí. Stačí nám zadefinovať našu funkciu pre x>0, potom bude inv. funkcia existovať.

Povedzme, že naša inverzná funkcia je G(x). Potom je naše riešenie rovnice x=G(z). Je pravda, že sme v podstate nič neurobili, ale skutočnosť je iná. Je možné numericky vyjadriť (aproximovať) túto funkciu. V skutočnosti existuje jedna nádherná funkcia zvaná Lambertova W funkcia. Je definovaná ako inverzná funkcia k funkcii f(x)=xe^x. To znamená, že ak máme rovnicu xe^x=z, tak jej riešenie je x=W(z). Je možné vyriešiť našu pôvodnú rovnicu pomocou tejto funkcie (v prílohe), dokonca aj vyjadriť pomocou nej G(x). Možno si teraz hovoríš, že je to iba hlúposť a nič sme neurobili, čo je v skutočnosti pravda, no trik je v tom, že Lambertova W funkcia je relatívne ľahká na výpočet a na našom definičnom obore je analytická (čo v skratke znamená, že sa nám s ňou dobre pracuje). Teda je to ,,analytické,, riešenie.

Dúfam, že prílohu budeš vedieť prečítať (veľmi škaredo píšem) a taktiež, že tento príspevok aj v niečom pomohol.