Izoperimetrická úloha

Ahoj Adame, můžeš používat limity? pokud ano, tak bych na to šel takto (je to jen nápad a nástřel. žádný "správný" postup nebo důkaz neznám): ukázal bych, že ten útvar musí být konvexní. To je asi vidět hned od pohledu. Pak bych řek, že budeme uvažovat pravidelné konvexní útvary. Nevím sice jak odůvodnit, že musí být pravidelné. oni asi možná ani být nemusí, ale bude se nám to líp počítat. Takže se bavíme o pravidelných mnohoúhelnících. No a pak bych napsal vzorec pro obvod a obsah pravidelného mnohoúhleníku a dal je do poměru. vyleze ti z toho nějakej vzorec závislej na n-počtu stran toho mnohoúhelníka. A pak bych ukázal, že to tvoří členy rostoucí posloupnosti, která bude omezená shora. a poslal bych n do nekonečna, čímž se z toho n-úhelníku stane kruh. Možná by ti mohlo pomoct tohle video: http://mathematicator.com/index.php?page=play&a=331

Ahoj Marku, to je moc dobrý nápad. Nemyslím, že je v silách středoškoláka pochopit tenhle problém v obecném znění, ale zjednodušená úloha ve formě konvexního pravidelného útvaru je už poměrně jednoduchá.

Hele hrozně záleží na tom, jak je Adam daleko. My jsme na gymplu limity dělali, ten princip je poměrně jednoduchej, technické provedení už o něco těžší. Spíš by mě Tome zajímalo, jak si poradit s tou pravidelností. protože bez ní se to bude hrozně blbě počítat...

V podstatě nijak :-) Není třeba hned řešit neřešitelnou úlohu a postupovat po menších krocích s tím, že důkaz můžeš postupně rozšiřovat a komplikovat.

(1) Nejjednodušší varianta je pravidelný n-úhelník, kde ukážeš, že pro útvar s vyšším počtem stran a stejným obvodem má vyšší obsah. To limitně vede na kruh jako útvar s největším obsahem.

(2) Jen o málo složitější je konvexní mnohoúhelník, kde uděláš podobný postup. Jestliže dvě sousedící strany mají odlišné délky, představíš si je jako trojúhelník a využiješ faktu, že rovnoramenný trojúhelník má při pevné základně a obvodu největší obsah. Postupná aplikace téhle transformace vede limitně na pravidelný mnohoúhelník.

(3) Nekonvexní mnohoúhelník je dalším rozšířením a to už dostaneš poměrně silné tvrzení.

Zatímco v případě (1) vystačíš s limitou, pro (2) už budeš potřebovat analýzu (monotonnost a konvergenci). Pořád budeš omezený na útvary s konečným počtem hran, tedy lomené křivky. I tak se jedná o poměrně silný princip, takže bych to dál neřešil, protože na obecnou definici i jednoduché křivky potřebuješ infinetisimální počet.

Já bych úplně klidně řešil jen (1) a zbytek nechal plavat.

Nevím jestli nevypadám jako idiot, ale podle jakého vzorce bych měl dokazovat tu první variantu. Podle obecného vzorce pro n-úhelník s tím cotangensem. Protože u tohoto vzorce si nejsem jistý jak ukázal v tom vzorci o kolik se zmenší jedna strana když jednu stranu přidám. Díky za odpověď.

Adame, díval jsi se na to video? Myslim, že by to ta měl všechno být.

To video jsem už shlédl, ale není v něm nic o tom poměru obsahu a obvodu n-úhelníku. Jen potřebuju zjistit ten vzorec na důkaz že n-úhelník z větším počtem stran má větší obsah a poté to už pošlu do nekonečna podle videa.

Jo jasně, rozumím, tak ale udělat podíl obvodu a obsahu zvládneš ne? Prostě vem ten vzorec na obsah n-úhelníku a poděl to jeho obvodem. Nebo máš problém se vzorcem pro obvod?

No ten vzorec na obvod se na internetu liší a nevím který mám použít, aby se mi to s tím vzorcem pro obvod s těmi siny a cosiny nějak vykrátilo.

Mohl bych se ještě zeptat . V tom vzorci pro n-úhelník je r, ale v tom n-úhelníku žádný r není. Co s tím?