Pravděpodobnost - losování koulí
Procházím si příklady na pravděpodobnost počítané již před delší dobou.
Uvědomil jsem si, že pořád úplně nerozumím tomu, jak počítat to, kolika způsoby se něco může stát.
Konkrétně tento následující příklad jsem zhruba před rokem řešil nějakým postupem nicméně teď bych ho řešil úplně jinak.
Příklad:
V osudí je 7 červených a 10 modrých koulí. Namátkou vybereme 4 koule. Jaká je pravděpodobnost, že vybrané koule budou stejné barvy?
V minulosti jsem počítal následujícím způsobem a NEVÍM PROČ.
Pravděpodobnost tohoto jevu jsem zapsal jako zlomek, kde ve jmenovateli bylo kombinační číslo 17 nad 4 a v čitateli součet komb. čísel 7 nad 4 a 10 nad 4.
Ty kombinační čísla bych tehdy zdůvodnil asi tak, že mi přece nejde o pořadí, pač kdybych dal např. červeným koulím indexy tak je mi jedno jestli padne č1 a zároveň č2 a zároveň č3 a č4 anebo č2, č3 č1 a č4. Proto 17 nad 4 bude počet všech možností jak vybrat 4 koule ze 17 bez ohledu na pořadí. To samé platí pro komb čísla v čitateli.
Zkrátka že pořadí, ve kterém padnou koule stejné barvy mě nezajímá.
Při počítání tohoto stejného příkladu po delší době jsem se ale zamyslel a uvažoval jsem jinak.
Při počítání pravděpodobnosti "naivním" způsobem přece chci, aby všechny možnosti byly stejně pravděpodobné a chci je zahrnout všechny, žádné nesmí chybět.
To samé jako u házení dvěma kostkama - to jestli padne 2 a 3 nebo 3 a 2 je rozdíl, ta realizace se odehrává jiným způsobem a tedy by tyto dva možné elementární jevy měly být započíány zvlášť.
Domnívám se, že toto samé by mělo platit u tohoto příkladu s koulema. Kdybych si teoretický červené a modré koule oindexoval takže by byla č1,č2 ... č7 a to samé u modrých, tak fyzicky bude odlišná realizace když budou padat tyto koule s různými indexy v různém pořadí (i když pořadí barev samotných může zůstat stejné, jen indexy budou permutovat mezi sebou).
Tedy momentálně bych ten stejný příklad vypočítal tak, že bych do jmenovatele místo kombinace 4 třídy ze 17 dal variaci 4 třídy ze 17 prvků. To samé bych udělal v čitateli - místo kombinací bych použil variace a zohlednil bych tak úplně všechny možné způsoby jak může reealizace "fyzicky" proběhnout.
Problém je v tom, že při počítání oběmi způsoby to vyjde stejně - cca. 10.29% pravděpodobnost.
Který způsob je ale ten "správný" a proč? S určováním toho, zda záleží nebo nezáleží na pořadí při počítání pravděpodobnosti mám problémy. Děkuji
Tomáš K.
08. 05. 2018 09:42
6 odpovědí
Ahoj Tomáši, korektní odpověď na tuhle otázku je trochu komplikovanější a obávám se, že není v silách středoškoláka ji pochopit, aby to bylo nějak nápomocné.
Ve zkratce, obě možnosti jsou správně.
Úloha má totiž symetrickou strukturu, takže nezáleží na tom, jestli použiješ kombinace nebo variace.
Jenže symetrie už je koncept, který se na střední neučí, takže prostě některé úlohy symetrické jsou a některé nejsou.
Například hod dvěma kostkama není symetrický, což ovšem neznamená, že musíš jevy započítávat zvlášť.
Abych byl přesný, v klasické pravděpodobnosti jevy zvlášť započítat musíš, ale není to nutné.
V obecnější interpretaci pravděpodobnosti může být (2, 3) a (3, 2) stejný jev, pokud si vytvoříš odpovídající systém jevů reprezentující problém.
Jenže to je další koncept, který se učí až později.
Kdyby tě to opravdu zajímalo, tak by bylo nejlepší si vzít nějaké doučování a nakouknout do pravděpodobnosti, jak se učí na vysoké škole.
Není to vůbec složité, ve skutečnosti je to mnohem jednodušší, protože se dozvíš důvody toho, co teď vlastně počítáš, a které se ti nikdo nenamáhal vysvětlit :-)
Za sebe můžu říct, že používám pouze druhý způsob, kdy na pořadí záleží, protože je to výrazně jednodušší.
To plyne z toho, že nevyžaduje zmiňovanou symetrii a nemusím ji hledat.
První způsob tedy může a nemusí fungovat, druhý funguje vždy.
Ve druhém způsobu sice budeš občas počítat trochu víc, ale s trochou cviku přestaneš používat vzorečky a začneš si je odvozovat podle potřeby, pak je toho počítání naopak o mnoho méně.
S tím "proč" jsem ti asi moc nepomohl, ale dostatečný popis by se na jednu stránku nevešel.
Aspoň si pamatuj, že druhým způsobem nemůžeš udělat chybu.
Tomáš B.
Střední mám už za sebou akorát jsem si vzal rok volno po maturitě před vysokou. No a jdu zrovna studovat obor kde je poměrně dost statistiky a s tím spojené pravděpodobnosti. Takže teď opakuju a zjišťuju jak jsem v tom špatnej :)
Na střední jsem se prostě naučil typové úlohy, dosadil do vzorců protože to tak přece bylo správně a bylo hotovo :)) Takže teď procvičuju a ačkoliv jsme teda počítali o dost těžší příklady než tento poměrně jednoduchý s těma koulema tak mám prostě pořád pocit že tomu do hloubky tak intuitivně nerozumím a s tím určením počtu možných realizací určitého jevu mám prostě někdy problém a čím víc nad tím přemýšlím, tím víc se do toho zamotávám.
Já jsem právě myslel, že pokud budu dělat tu druhou variantu tak neudělám problém, přesně jak píšeš.
Ale třeba u tohoto příkladu to nefunguje:
Jaká je pravděpodobnost toho, že dostaneme full house kombinaci, předpokládáme li, že balík 52 karet je "náhodně" zamíchaný?
Správná odpověď je: v čitateli 13*(4 nad 3)12(4 nad 2) a ve jmenovateli (52 nad 5)
Jinými slovy počet způsobů jak vybrat 5 karet z 52 karet je 52 nad 5 pokud nezáleží na pořadí té kombinace (což v realitě v pokeru nezáleží) a to samé analogicky platí pro čitatele (z 13ti druhů karet vybírám 3 karty ze čtyř a zároveň ze zbylých dvanácti druhů vybírám 2 karty ze 4).
No jo, ale zase tady ve jmenovateli nezohledňuju to, že mi může ta jedna kombinace padnout 5! způsoby. Takže ten jmenovatel bych měl správně ještě násobit 5!. To samé čitatel, ten bych měl násobit 3! a 2!
Když to ale udělám, dostanu odlišný výsledek od toho prvního...
Počet všech losování = 52 * 51 * 50 * 49 * 48
Počet full-housů = 52 * 3 * 2 * 48 * 3 * (5 nad 2)
Kombinační číslo (5 nad 2) zohledňuje pořadí rozlosování obou barev, to lze 10 způsoby.
Nenech se zmást tím, že ses učil kombinace = nezáleží na pořadí, tady kombinační číslo pořadí naopak započítává.
Jak jsem říkal, bez vzorečků a druhým způsobem to bývá rychlejší a jednodušší.
Včera jsem ještě nad tvým výpočtem přemýšlel ale nebyl jsem schopný to pochopit.
S tím počtem všech losování je to jasné.
S tím počtem full-housů: Představoval jsem si celý proces padnutí full-housu a toto je k čemu jsem došel:
Celkem máme 13 hodnot karet takže pro první full-house padne kterákoliv z těchto hodnot a potom každá tato hodnota má čtyři barvy (tedy čtyři různé karty, které mohou padnout pro každou z hodnot), tedy 432 možností, jak vybrat z těchto 4 karet 3 karty s ohledem na pořadí.
To mě dostává k číslu 1343*2.
Po vybrané trojici pokračujeme k vybrání dvojice. Nyní už vybírám jen z 12ti hodnot, protože jedna už je obsažena ve vybrané trojici. Stejný postup jako v předchozím kroku akorát místo trojice ze 4 karet vybírám nyní dvojici. To mě dostává k číslu 1243.
Ke každé takto vybrané trojici může být jedna takto vybraná dvojice, takže vynásobím obě hodnoty: 134321243 = 44928
Toto je číslo desetkrát menší než vyšlo tvým výpočtem - tedy kdybych to teď vynásobil tím kombinačním číslem 5 nad 2, dostanu přesně to, co vyšlo tobě. Akorát teda nevím, proč bych to dělal, já už jsem přece zohlednil různost všech karet, takže proč bych to měl ještě násobit desíti? Mohl bys ještě toto prosím nějak rozvést? děkuji
Protože jmenovatel počítá všechna možná pořadí karet, musíme to samé dostat i v čitateli.
Jenže výpočet čitatele zahrnuje pouze ruku typu XXXYY (tedy full-house v tomhle pořadí).
Aby to bylo komplikovanější, tak v části XXX počítáme korektně s ohledem na pořadí a v části YY také.
Co už ale započítané není, je pořadí mezi barvami YYXXX, XYXYX, XXYXY, atd.
Kolik takových kombinací máme? (10 nad 2), což je právě ta korekce v čitateli.
Také můžu postupovat alternativně.
Pokud jmenovatele podělím 5!, dostanu všechna možná losování bez ohledu na pořadí.
V čitateli udělám to samé, XXX dělím 3! a YY dělím 2!.
Dostanu opět stejný výsledek, tentokrát opačným postupem.
A všimni si, že 5! = 3! * 2! * 10, což je ta ztracená (5 nad 2)
Btw, proč jdeš studovat zrovna statistiku (ekonomie nebo strojové učení?)?
Je to naprosto úžasný obor, ale aby ji člověk docenil, potřebuje se v ní poměrně dlouho vrtat, takže mně naopak vrtá hlavou, jak ses pro ni rozhodnul?
Aha už rozumím. Já nejsem zvyklý používat kombinace v tomhle smyslu. Já bych to udělal v tom čitateli tak, že bych to vynásobil 5! (jak můžu různě rozmístit 5 prvků) a pak bych to podělil 3!x2! takže bych to dělal permutacemi s opakováním. Prvně bych si ale musel uvědomit, že jsem opravdu nezapočítal různé kombinace těch barev mezi sebou, a to se nestalo dokud jsi mi to nenapsal.
Nenapsal jsem, že jdu studovat statistiku. Jedná se o obor na ekon. fakultě ale ekonomika přímo to taky není.
Statistiky je tam ale dost.