Vlastní čísla a vlastní vektory

Tohle téma vyžaduje pro dobré pochopení kombinaci vysvětlování, počítání a kreslení, kde je potřeba začít projekcemi mezi bázemi, studiem jejich vlastností a postupně se dopracovat až k aplikacím, ať už je to analýza, statistika nebo zpracování signálu (bez aplikací jsou eigenvektory hodně abstraktní téma). Zkus se podívat na videa na youtube, je tam toho celkem dost. A když budeš mít nějakou specifickou otázku, tak se zkus zeptat.

Nevím, jestli je to úplně blbá myšlenka, ale napadlo mě tohle:

Neznamená to, že matice je vlastně soubor nějakých vektorů, které když vynásobím vlastním vektorem, tak dostanu vektor, který je k násobkem vektoru jednoho z matice?

A zároveň platí, že součin vlastního čísla s vlastním vektorem je také nějaký k násobek jednoho vektoru z matice?

Vlastní vektor v matice A je takový vektor, pro který platí rovnost Av = λv.

To znamená, že projekce vektoru v z báze A je invariantní vůči rotaci a matice A vektor v pouze škáluje.

Jedná se o klíčovou vlastnost při studiu vlastností matice A, protože když Av = λv, pak také AAv = Aλv = λAv = λλv, a také AAAv = λλλv, atd.

V důsledku toho, že regulární matice A o velikosti NxN má právě N vlastních vektorů (určených vlastními čísly, obecně jich je nekonečně mnoho), existuje ve vektorovém prostoru daném bází A podprostor vlastních vektorů V, který je invariantní vůči rotaci maticí A.

To znamená, že libovolný vektor x v bázi A můžeš vyjádřit pomocí báze V, abys dostal velmi snadno interpretaci toho, co A s vektorem x udělá.

V mém popisu to zní složitější, než to je, ale chce to hodně kreslit a ukazovat souvislosti, jinak to zní takhle kostrbatě :-)