Přihlásit se
Fórum
Katalog
Kurzy
Všechna videa
Články
Vaše úspěchy
Doučování
Nápověda

Úkol z přednášky - Luboš Pick - Jak napálit matfyzáka

Kde je chyba?

-1 = -1^3 = -1^(6/2) = √(-1^6) = √1 = 1

Mám svůj typ ale u druhého rovnítka...

Ale jistý si tím nejsem...

Mohl bych Vás požádat o Váš názor?

Zdroj přednášky: https://www.youtube.com/watch?v=tB_z17TBrNg

Děkuji

Lubomír P.

Lubomír P.

07. 07. 2019   23:24

6 odpovědí

Tomáš B.
Tomáš B.
07.07.2019 16:07:37

Je to chyták :) takže Lubošovi věřím, že i matfyzáci s tím mají problém

  • první identita je špatně, protože definujeme -1 = -(1^3), ale -1 = (-1)^3 neplatí

  • druhá identita by mohla být správně, pokud bychom definovali racionální mocniny pro záporná čísla; jinak identita nesplňuje podmínky obvyklé definice a pak neplatí důkaz o jedinečnosti řešení tolik potřebný pro identitu

  • třetí a čtvrtá identita mají stejný problém jako druhá

  • pátá identita by mohla platit pouze tehdy, pokud se omezíme na kladné hodnoty; jinak je chyba i tam

Martin S.
Martin S.
07.07.2019 22:17:27

Ahoj, nechápu, proč by první identita neměla být správně, když uvážíme definici umocňovaní přirozeným exponentem jako opakované násobení. Výraz (–1)^n, n ∈ N, je, myslím, velmi profláklý.

Tomáš B.
Tomáš B.
07.07.2019 23:24:47

Ahoj Martine, čekal jsem, jestli se někdo zeptá :)

Odpověď zase bude, protože je to chyták.

Základem důkazu by měla být jeho konzistence, a když uvážíš, že prostřední část pracuje s racionálními exponenty, je přirozené uvažovat celý výraz v racionálních exponentech.

Je to stejné, jako když budeš řešit rovnici v komplexním oboru a v určité části dostaneš vyjádření na podoboru reálných čísel, prostě "zmizí" imaginární část. Pak bys například mohl dojít k tomu, že rovnice má jednoznačné řešení nebo nemá žádné, ale to nebude platit na celém oboru.

A proč je to další chyták?

Zadání není úplné a nevíme, v jakém oboru se pohybujeme. Na komplexních číslech můžu s klidem říct, že špatně je až třetí identita, protože (-1)^(6/2) = i^6, přičemž zápis prvních rovností budu chápat pouze formálně.

Podobné příklady vždy vyžadují, abys postupoval velmi opatrně a opíral se o formalismy. Pokud začnu umocňováním přes přirozená čísla, musím v dalším kroku udělat extenzi na racionální (nebo reálná) čísla, což je nepříjemné.

Za daných okolností ovšem platí, že pravdu mohou mít všichni :)

Podobná otázka: kolik řešení má rovnice x^4 = 1?

A jestli jsem dobře popsal svoji myšlenku, měl bys jich najít mnohem víc než tři.

Denis P.
Denis P.
19.02.2020 22:33:49

Tomáši, nemystifikuj lidi kolem sebe. První rovnost samozřejmě platí, neboť (-1)^3 se definuje předpisem (-1)(-1)(-1). Tedy rovnost plyne přímo z definice. Sice píšeš něco o formalismech, ale sám se žádného formalismu nedržíš. Důvod, proč přesně podle tebe první rovnost neplatí, ve tvém komentáři není.

Tomáš B.
Tomáš B.
20.02.2020 19:05:48

Na ten důvod upozorňuju dále. Jestliže "se něco definuje" (krásné tvrzení, když už se bavíme o mystifikacích) určitým způsobem, tak bychom se měli ujistit, že "ta definice" bude fungovat i v dalších krocích důkazu. A pokud v následující identitě vystupuje racionální mocnina, možná "ta definice" není dostatečná a v tom případě rovnost neplatí.

Tomáš B.
Tomáš B.
20.02.2020 19:33:00

Protože "se definuje" \( x = \log(e^{x}) \) dostanu podobně nesmyslný důkaz.

\( e^{2\pi i} = e^{4\pi i} \)

\( \log(e^{2\pi i}) = \log(e^{4\pi i}) \)

\( 2\pi i \log(e) = 4\pi i \log(e) \)

\( 2 = 4 \)

A co se stane s jednotlivými identitami, když se na Lubošovu úlohu budu koukat jako na rovnosti funkce f(x, y) = x^y a jako první krok určím obor (x, y)?

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.