Úkol z přednášky - Luboš Pick - Jak napálit matfyzáka

Je to chyták :) takže Lubošovi věřím, že i matfyzáci s tím mají problém

• první identita je špatně, protože definujeme -1 = -(1^3), ale -1 = (-1)^3 neplatí

• druhá identita by mohla být správně, pokud bychom definovali racionální mocniny pro záporná čísla; jinak identita nesplňuje podmínky obvyklé definice a pak neplatí důkaz o jedinečnosti řešení tolik potřebný pro identitu

• třetí a čtvrtá identita mají stejný problém jako druhá

• pátá identita by mohla platit pouze tehdy, pokud se omezíme na kladné hodnoty; jinak je chyba i tam

Ahoj, nechápu, proč by první identita neměla být správně, když uvážíme definici umocňovaní přirozeným exponentem jako opakované násobení. Výraz (–1)^n, n ∈ N, je, myslím, velmi profláklý.

Ahoj Martine, čekal jsem, jestli se někdo zeptá :)

Odpověď zase bude, protože je to chyták.

Základem důkazu by měla být jeho konzistence, a když uvážíš, že prostřední část pracuje s racionálními exponenty, je přirozené uvažovat celý výraz v racionálních exponentech.

Je to stejné, jako když budeš řešit rovnici v komplexním oboru a v určité části dostaneš vyjádření na podoboru reálných čísel, prostě "zmizí" imaginární část. Pak bys například mohl dojít k tomu, že rovnice má jednoznačné řešení nebo nemá žádné, ale to nebude platit na celém oboru.

A proč je to další chyták?

Zadání není úplné a nevíme, v jakém oboru se pohybujeme. Na komplexních číslech můžu s klidem říct, že špatně je až třetí identita, protože (-1)^(6/2) = i^6, přičemž zápis prvních rovností budu chápat pouze formálně.

Podobné příklady vždy vyžadují, abys postupoval velmi opatrně a opíral se o formalismy. Pokud začnu umocňováním přes přirozená čísla, musím v dalším kroku udělat extenzi na racionální (nebo reálná) čísla, což je nepříjemné.

Za daných okolností ovšem platí, že pravdu mohou mít všichni :)

Podobná otázka: kolik řešení má rovnice x^4 = 1?

A jestli jsem dobře popsal svoji myšlenku, měl bys jich najít mnohem víc než tři.

Tomáši, nemystifikuj lidi kolem sebe. První rovnost samozřejmě platí, neboť (-1)^3 se definuje předpisem (-1)(-1)(-1). Tedy rovnost plyne přímo z definice. Sice píšeš něco o formalismech, ale sám se žádného formalismu nedržíš. Důvod, proč přesně podle tebe první rovnost neplatí, ve tvém komentáři není.

Na ten důvod upozorňuju dále. Jestliže "se něco definuje" (krásné tvrzení, když už se bavíme o mystifikacích) určitým způsobem, tak bychom se měli ujistit, že "ta definice" bude fungovat i v dalších krocích důkazu. A pokud v následující identitě vystupuje racionální mocnina, možná "ta definice" není dostatečná a v tom případě rovnost neplatí.

Protože "se definuje" \( x = \log(e^{ x} ) \) dostanu podobně nesmyslný důkaz.

\( e^{ 2\pi i} = e^{ 4\pi i} \)

\( \log(e^{ 2\pi i} ) = \log(e^{ 4\pi i} ) \)

\( 2\pi i \log(e) = 4\pi i \log(e) \)

\( 2 = 4 \)

A co se stane s jednotlivými identitami, když se na Lubošovu úlohu budu koukat jako na rovnosti funkce f(x, y) = x^y a jako první krok určím obor (x, y)?