Důkaz přímý - liché číslo jako rozdíl kvadrátů
Hezký den,
chtěl bych se zeptat, jak by vypadal přímý důkaz toho, že každé liché číslo lze zapsat jako rozdíl dvou kvadrátů. Děkuji za odpovědi.
Vojtěch P.
03. 10. 2019 22:07
3 odpovědi
Ahoj Vojto,
Nejdřív se podíváš na sekvenci kvadrátů a všimneš si vzorce: 0, 1, 4, 9, 16, 25, ...
Když odečteš dvě po sobě jdoucí čísla, dostaneš: 1, 3, 5, 7, 9, ...
A pak už stačí jen formálně dokázat, že každý rozdíl dvou kvadrátů po sobě jdoucích přirozených čísel dává jedinečné liché číslo, a že každé číslo lze takhle vyjádřit:
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 = liché číslo
Výhodou je konstruktivní charakter důkazu, takže když mě zajímá vzorec např. pro 153, dostanu 153 = 77^2 - 76^2
Mockrát díky. Vojta
Jo a jestli potrebuješ formální důkaz v predikátové logice, tak ten by vypadal takhle:
∀k∈Z ∃a∈Z ∃b∈Z ( k=2n+1 => k=a^2 - b^2 )
∀k∈Z ( k=2n+1 => k=n^2 - n^2 + 2n+1 )
∀k∈Z ( k=2n+1 => k=(n+1)^2 - n^2 )
∀k∈Z ∃a∈Z ∃b∈Z ( k=2m+1 => k=(a+1)^2 - b^2 )
Poslední krok je substituce volných proměnných a převod na vázanou formu.