Přihlásit se
Fórum
Katalog
Kurzy
Všechna videa
Články
Vaše úspěchy
Doučování
Nápověda

Důkaz přímý - liché číslo jako rozdíl kvadrátů

Hezký den,

chtěl bych se zeptat, jak by vypadal přímý důkaz toho, že každé liché číslo lze zapsat jako rozdíl dvou kvadrátů. Děkuji za odpovědi.

Vojtěch P.

Vojtěch P.

03. 10. 2019   22:07

3 odpovědi

Tomáš B.
Tomáš B.
03.10.2019 21:39:43

Ahoj Vojto,

Nejdřív se podíváš na sekvenci kvadrátů a všimneš si vzorce: 0, 1, 4, 9, 16, 25, ...

Když odečteš dvě po sobě jdoucí čísla, dostaneš: 1, 3, 5, 7, 9, ...

A pak už stačí jen formálně dokázat, že každý rozdíl dvou kvadrátů po sobě jdoucích přirozených čísel dává jedinečné liché číslo, a že každé číslo lze takhle vyjádřit:

(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 = liché číslo

Výhodou je konstruktivní charakter důkazu, takže když mě zajímá vzorec např. pro 153, dostanu 153 = 77^2 - 76^2

Vojtěch P.
Vojtěch P.
03.10.2019 22:02:34

Mockrát díky. Vojta

Tomáš B.
Tomáš B.
03.10.2019 22:07:13

Jo a jestli potrebuješ formální důkaz v predikátové logice, tak ten by vypadal takhle:

∀k∈Z ∃a∈Z ∃b∈Z ( k=2n+1 => k=a^2 - b^2 )

∀k∈Z ( k=2n+1 => k=n^2 - n^2 + 2n+1 )

∀k∈Z ( k=2n+1 => k=(n+1)^2 - n^2 )

∀k∈Z ∃a∈Z ∃b∈Z ( k=2m+1 => k=(a+1)^2 - b^2 )

Poslední krok je substituce volných proměnných a převod na vázanou formu.

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.