Přihlásit se
Fórum
Katalog
Kurzy
Všechna videa
Články
Vaše úspěchy
Doučování
Nápověda

Zajímavá úloha

Dobrý den, zde mám docela zajímavou úlohu, se kterou si nevím rady. Je možné, že je chyba v zadání?

Strana AB má délku 1. Na straně AB uděláme bod M a sestrojíme rovnostranné trojúhelníky AMP a BMQ.

  1. Jaká je hodnota M, pro kterou má trojúhelník MQP nejvyšší obsah?
  2. Jaká je hodnota M, pro kterou má čtyřúhelník ABQP nejvyšší obsah?

Už u jedničky jsem zadrhnutý. Pokud ty trojúhelníky jsou správně popsány, tak MQP je vždy přímka. Pokud jsou špatně popsány, a jeden z těch dvou bodů P,Q leží v opačné polorovině vůči AB, tak nevím, jak na to.

✓   Téma bylo vyřešeno.
Michal D.

Michal D.

08. 10. 2019   21:07

7 odpovědí

Michal D.
Michal D.
06.10.2019 22:05:59

Když budu počítat, že místo BMQ to má být MBQ, tak se dostanu k tomu, že strana MP je x, strana MQ 1-x a že úhel PMQ je 60 stupňů. Jak teda spočítám obsah toho MQP?

(Je to matika druháku, žádné cosinovy věty a výpočet výšky z trojúhelníku na základě všech stran nepoužívejte, v podstatě jen Pythagorovu větu, podobnost trojúhelníků, thaletovu kružnici, goniometrické fce v pravoúhlém trojuhelníku apod., prostě základy)

Tomáš B.
Tomáš B.
07.10.2019 00:38:04

Když si nejdřív sestrojíš rovnostranný trojúhelník ABC, tak zjistíš, že P leží na AC a Q leží na BC.

Pak už snadno spočítáš obsah MQP - je to kvadratická funkce s maximem v 0.5. To se dá udělat středoškolskými prostředky, ale současně je to vidět i od oka, pokud si představíš, co se děje, když hýbeš bodem M, a jak se AMP a BMQ musí zmenšit, aby co nejméně ukrojily z ABC.

Současně je vidět, že maximum ABQP musíš hledat v bodech 0 nebo 1, jenže to už není čtyřúhelník.

Podle popisu asi mluvíš o druháku na střední škole a v tom případě bych řekl, že (2) se správně vyřešit nedá kromě intuitivního argumentu, který jsem uvedl. Korektní argument používá hustotu reálných čísel a říká, že otevřená množina neobsahuje své vlastní maximum.

Souhlasí: 1    
Michal D.
Michal D.
07.10.2019 07:43:03

Už nic, došlo mi to. Díky

Michal D.
Michal D.
07.10.2019 07:51:17

Jinak pro tu 2 se prostě sečtou obsahy těch tří trojuhelníků, z čehož vyjde taky kvadratická funkce.

Tomáš B.
Tomáš B.
07.10.2019 19:04:23

Sestrojit tu funkci je lehké, těžká část je vysvětlit, proč nenabývá svého maxima, to je za hranicí učiva na střední.

Michal D.
Michal D.
08.10.2019 09:55:55

Napsal jsem to samozřejmě blbě-čtyřúhelník má mít obsah co nejmenší, což je jednoduché minimum kvadratické funkce.

Tomáš B.
Tomáš B.
08.10.2019 21:07:59

:)) tak to už smysl dává

Souhlasí: 1    
Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.