Inverzni matice
Zdravim, muzu se zeptat, proc se inverzni matice pocita tak, jak se pocita? Myslim ten nejjednodussi zpusob bez determinantu.
Zdeněk S.
19. 10. 2019 20:34
1 odpověď
Tuším, že výpočtem inverzní matice myslíš Gauss-Jordanův postup pomocí řádkových úprav? (ono je více postupů)
Hledáme inverzní matici G ke čtvercové regulární matici A, tzn. GA = E
a) Na levé straně máme matici A, která je regulární, na pravé straně je jednotková matice E, která je také regulární. Tím pádem G musí být regulární, protože rank(GA) <= min(rank(G), rank(A)).
b) Každou regulární matici můžeme rozložit na součin rádkových elementárních matic (vynásobení řádku skalárem, prohození dvou řádků, přičtení násobku řádku k jinému řádku), tzn. můžeme zapsat G = P1 * P2 * ... * Pn
Pak už je tu samotný postup, ten začíná zápisem [A | E]
Provedení řádkové úpravy v Gauss-Jordanově postupu odpovídá vynásobení obou stran nějakou elementární maticí Pk
[A | E] =
[Pn * A | Pn * E] =
...
[P2 * ... * Pn * A | P2 * ... * Pn * E] =
[P1 * P2 * ... * Pn * A | P1 * P2 * ... * Pn * E] =
[G * A | G * E] = (protože máme rozklad G = P1 * P2 * ... * Pn, dostáváme tuhle závěrečnou formu)
[E | G]
Což odpovídá tomu, že na pravě straně je jednotková matice a na levé vyjde inverze.
Celé je to tedy postavené na větě o rozkladu regulární matice, jak jsem uvedl na začátku v bodu (b).