Inverzni matice

Tuším, že výpočtem inverzní matice myslíš Gauss-Jordanův postup pomocí řádkových úprav? (ono je více postupů)

Hledáme inverzní matici G ke čtvercové regulární matici A, tzn. GA = E

a) Na levé straně máme matici A, která je regulární, na pravé straně je jednotková matice E, která je také regulární. Tím pádem G musí být regulární, protože rank(GA) <= min(rank(G), rank(A)).

b) Každou regulární matici můžeme rozložit na součin rádkových elementárních matic (vynásobení řádku skalárem, prohození dvou řádků, přičtení násobku řádku k jinému řádku), tzn. můžeme zapsat G = P1 * P2 * ... * Pn

Pak už je tu samotný postup, ten začíná zápisem [A | E]

Provedení řádkové úpravy v Gauss-Jordanově postupu odpovídá vynásobení obou stran nějakou elementární maticí Pk

[A | E] =

[Pn * A | Pn * E] =

...

[P2 * ... * Pn * A | P2 * ... * Pn * E] =

[P1 * P2 * ... * Pn * A | P1 * P2 * ... * Pn * E] =

[G * A | G * E] = (protože máme rozklad G = P1 * P2 * ... * Pn, dostáváme tuhle závěrečnou formu)

[E | G]

Což odpovídá tomu, že na pravě straně je jednotková matice a na levé vyjde inverze.

Celé je to tedy postavené na větě o rozkladu regulární matice, jak jsem uvedl na začátku v bodu (b).