Nerovnice s abs. hodnotou

Ahoj Jakube,

jelikož výraz v absolutní hodnotě bude vždy kladný (diskriminant je záporný a kvaratický koeficient je kladný, tzn. graf této fce je celý nad osou x), můžeme absolutní hodnotu jednoduše odstranit a řešíme kvadratickou nerovnici. Mně vyšlo: 2x^2-x+5 > 0, tento výraz bude také vždy kladný a nikdy roven nule (stejný princip jako výše), řešení: x je elementem R. Doufám, že jsem pomohl :-)

Díky moc :)

Takže pokud by výraz v absolutní hodnotě vyšel i vždy záporný, taky bych mohl odstranit absolutní hodnotu že? A kdyby existovali kořeny, tak to vyřeším klasicky tabulkou nulových bodů je to tak?

Kdyby byl výraz vždy záporný, můžete odstranit absolutní hodnotu, ale je třeba počítat s opačným výrazem (-x^2-2x-3). Pokud by existovaly kořeny, bylo by to trochu složitější, nejprve zjistíme pro která x je výraz kladný, výraz bude stejný, vyřešíme nerovnici, výsledek dáme do průniku pro ta přípustná x. Poté budeme počítat s takovými x, pro která je daný výraz tentokrát záporný, výraz bude opačný, vyřešíme nerovnici, výsledek opět do průniku s přípustnými x. Obě naše řešení sjednotíme a máme to. Doufám, že je to srozmitelné. :-)

P.S. Pro zjištění, kdy je výraz záporný či kladný, řešíme příslušnou kvadratickou nerovnici, kterou můžeme vyřešit právě pomoci tabulkové metody, ale musíme pokračovat dále, není to ještě řešení té celé rovnice. :-)

Ano je to srozumitelné, díky moc za objasnění :)

Mě právě vyleklo to, že nevyšli žádné kořeny, nevěděl jsem, zda mohu abs hodnotu v klidu odstranit..

Mohu se ještě zeptat?

Pokud budu mít nějakou iracionální nerovnici např.

(x^2+6x+9)^(1/2) =< 5-x

Tak abych mohl celou nerovnici umocnit, tak musím vědět, že celá levá a pravá strana nerovnice bude nezáporná že? Takže si snatovím podmínky pro 5-x>0 a teď bych teoreticky mohl celou nerovnici umocnit, protože předpokládám, že odmocnina bude vždy kladná v tomto případě.. abych se ujistil, tak bych měl ještě stanovit podmínky pro odmocninu, aby opravdu vyšla proměnná x kladná...

No a stanovením těchto podmínek mohu nerovnici dopočítat a na konci zjistit průnik s podmínkami a výsledkem bude nějaké případné sjednocení..

Jde mi hlavně o to umocňování celé nerovnice, platí tedy jak jsem psal, že jí mohu umocnit pouze, pokud budou obě strany nerovnice kladné? a Tím že stanovím podmínky pro zejména tu pravou stranu, tak umocnění mohu provést?

EDIT:

Jde o to, že pokud budu mít nerovnici

(x^2-3*x+2)^(1/2)<=-x-2

Tak si řeknu, že levá strana bude vždy kladná, zaručím to ještě podmínkami pro odmocninu a teď vidím, že pravá strana musí být větší než levá.. takže logicky nikdy nesmí být záporná, proto bych stanovil podmínky pro pravou stranu, že -x-2>0 takže x<-2

A právě díky této podmínce zjistím, že řešením je prázdná množina, resp. nemá řešení...

Ale jak je to s ekvivalentními podmínkami při umocňování? Já přece mohu celou nerovnici umocnit jen pokud bude celá levá a pravá strana kladná ne?

Protože pokud budu mít nerovnici

(x^2-3*x+2)^(1/2)>=2-x

A stanovím podmínku 2-x>0 takže x<2 a vypočítám celou nerovnici umocněním, tak mi vyjde x>=2 to do podmínky pro x^2-3x+2>=0 vyhovuje, ale pro tu první podmínku x<2 nevyhovuje a tím pádem by mi vyšlo řešení jako prázdná množina a to je špatně...

X^2 + 6x + 9 je (x+3)^2, to pod odmocninou je |x+3| :-) Pokud to samozřejmě není vzorec, je třeba umocnit, ale předtím je třeba jednak určit definiční obor celé nerovnice a pak rozebrat zpravidla více případů (kdy je na druhé straně záporné, kdy kladné nebo rovno nule, takže v tom druhém případě by myslím mělo být spíše x <= 2). Je důležité si uvědomit pro jaká x vždy řešíme a udělat průnik. Není to zrovna triviální záležitost, takže myslím, že nejlepší bude vyřešit co nejvíce podobných příkladů a než začít řešit, tak nejprve přemýšlet nad oním příkladem, studovat ho, znalyzovat ho a až pak řešit. (ted sem nepřímo citoval Einsteina :-) )