Diferenciální rovnice
Ahoj Marku
Mam dotaz ohledně odvození charakteristické rovnice (bonusove video) v kurzu na diferenciální rovnice.
Ty jsi tam hned z počátku uvedl předpoklad, že by ty homogenní rovnice mohla resit exponenciála a ukázal jsi, ze tomu tak je, a odvodil jsi pak tu algebraickou rovnici n-teho radu pro lambdu.
Z toho obecneho odvozeni jsem pochopil, ze exponencialou jde vyresit libovolnou homogenni diferenciální rovnici.
Mam ale problem s tim, jak se urcila ta nezavislost. Kdyz vyjdou ruzne koreny te lambdy, tak chapu, determinant nikdy nevyjde 0. Pak ale kdyz vyjdou 2 totozne koreny, tak pred jednu tu funkci nalepis x. Pak tam dokazech, ze se tim sikovne zaridi, ze determinant nikdy nevyjde nula. To taky chapu. Ale jak si muzes byt jist, ze ta nova funkce xe^(Lx) bude patrit mezi reseni te puvodni diferencialní rovnice?
Kdyz si vezmu libovolny priklad a zkusim si to dosadit, tak to vyjde, ale jak se na to prislo? Vzdyt ten determinant by se v nas prospech dal teoreticky zmenit i jinou funkci.
Mozna je to detail, ale vrtalo mi to hlavou. Kazdopadne dekuji za kurz, moc se mi libi :)
Tomáš Y.
27. 06. 2015 18:14
2 odpovědi
Ahoj Tomáši,
tohle je skvělá otázka a popravdě doku jsi se mě nezeptal, tak jsem neznal odpověď a ani teď jí ještě stoprotcentně nerozumím, ale je to vysvětleno zde: https://cs.wikipedia.org/wiki/Charakteristick%C3%A1…
Sjeď si trochu dolů na sekci: Vícenásobné reálné kořeny
Kdybych to měl shrnout, jak to chápu, tak si prostě řekneš přesně to co jsi napsal ve svém dotazu. tedy že by tam mohla být klidně i jiná funkce. Ale aby vyhovovala té rovnici, tak to musí být polynom. Je to ten předposlední řádek. že k-tá derivace té funkce musí být nula. Takže to potřebuješ násobit polynommem k-1 řádu.
Vím, že to není úplně ideální, ale snad to trochu pomohlo.
Kluci, v tomhle jsem se už dlouho nehrabal a navíc jsem neviděl videa, takže nemám tušení, jakou notaci používáte.
Pro fundamentální řešení potřebuješ množinu lineárně nezávislých funkcí.
Takže pokud je lambda k-násobným kořenem, exp(Lt) už netvoří nezávislý systém.
Jenže nemůžeš vzít libovolnou funkci, protože musí mít určité speciální vlastnosti, které nenajdeš na ulici.
Pokud jsi ještě neměl komplexní analýzu, tak to zatím neřeš.
Tolik k druhé otázce.
Co se týká té první, pokud Z(w) je zobrazení, které používáme ke konstrukci fundamentálního systému, pak dosazením texp(Lt) do Z lze ukázat, že se skládá součtu dvou členů, charakteristického polynomu a derivace charakteristického polynomu. Protože lambda je alespoň 2-násobný kořen, pak musí platit, že oba členy jsou rovny nule a máme důkaz, že texp(Lt) je řešením lineární diferenciální rovnice.
Trochu zběsilé, ale snad vás to alespoň nasměruje.
EDIT: Opravil jsem podmínku na ortogonalitu, což by bylo příliš silná podmínka.