Lagrangeův interpolační polynom

Ahoj,

obecně polynom 2. řádu je parabola.

Pro tento okamžik budeme předpokládat, že má tyto vlastnosti:

• 2 kořeny

• 1 vrchol (lokální maximum nebo minimum)

• funkční předpis ax^2+bx+c

Co to udělat tak, že si zadané body nakreslíš do soustavy souřadnic, zkusíš nějak odhadnout, jak by parabola mohla vypadat a podle toho určit předpis? Vycházel bych třeba z průsečíků, které pomohou poměrně spolehlivě detekovat lokální extrémy a okolní body, které musíš protnout.

Nechci ti dávat úplně celé řešení (ale jen nápad), ať na to přijdeš sám. ;)

Ahoj Romane,

já osobně bych využil jen toho, že kvadratický polynom má, jak píše Honza, funkční předpis y=a.x^2+b.x+c. Naším úkolem je zjistit koeficienty a,b,c. Body, kterými funkce prochází jsou dány souřadnicemi [x;y]. Nebylo by tedy snadnější prostě ony body dosadit to předpisu a řešit soustavu 3 rovnic? :-) To konkrétní setavení soustavy a jeho vyřešení už nechám na tobě.

Martin

Ahoj Romane,

nejrychlejší mi příjde ten Martinovo způsob, ani vytvoření L. interpolačního polynomu by nezabralo tak dlouho, myslím, že by to bylo časově nastejno.Jestliže máme 3 body, tak polynom, který hledáme bude právě druhého stupně.Nejdříve si vytvoříme Lagrangeovy pomocné polynomy, protože máme 3 body, tak budou existovat právě 3 pomocné polynomy l1(x), l2(x) a l3(x).První polynom bude mít kořeny takové, jaká je x-ová hodnota druhého a třetího bodu, tj. x=2 a x=3, pak ještě chceme, aby ten polynom, když do něj dosadíme x=1, aby měl hodnotu 1, jak toho docílíme ? Náš polynom bude vypadat (x-2)(x-3) a musím ho vydělit nějákou hodnotou, abych po vydělení dostal 1, tj. (1-2)(1-3), proto náš první pomocný polynom bude vypadat : (x-2)(x-3)/(1-2)(1-3), druhý pomocný polynom se sestaví úplně totožně, jen budeš chtít, aby měl kořen x=1 a x=3 a znovu budeš požadovat, aby když x=2, tak byl roven 1, úplně stejné to bude u třetího polynomu, myslím, že už vidíš, jak se pomocné polynomy vytváří.Jak tedy bude vypadat náš Lagrangeův polynom ? Bude to právě součet našich pomocných polynomů násobených nějákou konstantou, jakou? Ty konstanty budou právě funkční hodnoty, které chceš aby vyšly, proto náš polynom bude vypadat : L(x)=4l1(x)+9l2(x)+18*l2(x).Sleduj, co se stane, když dosadím x=1 , l2 a l3 bude 0, protože x=1 je jedním z kořenů těch polynomů, hodnota l1(1) bude 1, ale je to přeci násobené 4, tzn. že funkce bude procházet bodem [1;4], když dosadíš x=2, tak ti odpadne l1 a l3, zbyde ti jen 9l2(2)=9, takže funkce prochází i bodem [2;9], stejně jako když si to vyzkoušíš pro x=3, tak uvidíš, že prochází i bodem C, to znamená, že jsme našli funkci, která tvé podmínky bude splňovat.Samozřejmě všechny polynomy můžeš sečíst, ať to nevypadá tak strašidelně.Doufám, že je to alespoň trošku pochopitelné, kdyby nebylo, klidně to vypočítám a pošlu jako přílohu.

Ano, řešení Martina je nejrychlejší, než to řešit přes L. interpolační polynom. Díky všem, variantu Vladana vyzkouším. Díky za pomoc.