Ortogonální doplněk
Prosím Vás o pomoc. Nevím jak postupovat při hledání více ortogonálních doplňků. Ve skriptech mám řešený příklad, avšak mi nejde toto řešení aplikovat všeobecně. Mohli byste mě moc prosím odkázat na nějaké řešené příklady, na kterých by řešení bylo jasné?
Děkuji,
s pozdravem,
K.K.
Kateřina K.
29. 10. 2015 17:43
4 odpovědi
Třeba příklad: najdete ortogonální doplnek v R3 podprostoru B, který je generován vektory: (1,-3,3), (3,-9,9), (-2, 6, -6).
Dobrý den, Katko,
ortogonální doplněk se hledá takzvanou Gramm-Schmidtovou ortogonalizací.
1)z těch vektorů vyházíte ty, které jsou násobkem ostatních. tedy potřebujete skupinu lineárně nezávislých vektorů. V našem případě nám zbyde pouze jeden vektor (třeba ten první). 2)najdete vektor, která je kolmý na ty vektory které máte. To uděláte pomocí skalárního součinu, že ho položíte rovný nule. Tím získáte další vektor, takže máte o jeden navíc. 3) hledáte další kolmý vektor. Zase pomocí skalárního součinu se všemi vektory co máte. A takhle postupujete dokud nemáte tolik LN vektorů, jako je dimenze toho doplňku.
A ještě zjednodušení pro Váš případ. Tady je jeasné, že řešením bude rovina kolmá na ten vektor co Vám zústane, takže stačí, když vymyslíte libovolné dva vektory, které v té rovině leží a jsou LN.
Mockrát děkuji.
Výsledek v těchto případech je jen jeden nebo je více moznych? Postupem který uvádíte se snažím resit i jiné příklady a podle výsledků mi vychází jiné vektory...?
Záleží jak se na to díváte. Ten doplněk jako takový je samozřejmě jen jeden, ale je to vektorový prostor. A vektorový prostor musíte popsat tak, že napíšete nějakou jeho bázi. A každý vektorový prostor má nekonečně mnoho bazí. Takže ano, můžete dostat více bazí (sad vektorů, které Vám vyjdou), ale všechny by měly popisovat ten samý prostor. Poznáte to tak, že když už máte nějakou tu bázi toho doplňku, tak libovolnou jinou bázi (přesněji vektory té jiné baáze) budete schopna napsat jako lineární kombinaci té Vaší báze.