Jaké všechny typy důkazů existují a řadí se zde i "odvození vzorce, který uvádí věta"?
Dobrý den, mám takový teoretičtější dotaz, jaké všechny typy důkazů v matematice existují a jak se dá dokazovat?
- důkaz přímý - většinou jen úpravou vzorce přejdeme k tomu, co jsme chtěli ukázat (dokázat).
- důkaz nepřímý - to samé jen obměněnou implikací, někdy se hodí
- sporem - předpokládáme opak toho, co tvrdí věta a dojdeme ke sporu, takže věta je pravdivá.
- Matematickou indukcí - dokazujeme různé nekonečné řady, sumy, obecné vzorce, že platí opravdu
- Důkaz protipříkladem - dokážeme neplatnost tvrzení, že poukážeme na nedostatek
Je důkazem i odvození? Příklad: součet aritmetické posloupnosti n členů. Můžeme ho uvést jako větu a dokázat matematickou indukcí, že platí. Co ale kdybych na to šel jinak a zkrátka odvodil vzorec a ukázal, že je to ekvivalentní. Je to akceptované jako důkaz, nebo to důkaz není?
Jsou nějaké jiné typy důkazů?
Lukáš K.
19. 11. 2015 13:38
3 odpovědi
Ahoj Lukáši, ano, důkaz odvozením je taky důkaz. A je to v podstatě důkaz přímý.
Ahoj Lukáši, u tvé otázky bych asi rozlišoval důkaz a techniku důkazu. Pro pochopení toho jemného rozdílu se musíme posunout do třetího ročníku MFF na Logiku, kde se teprve dozvíme, co to důkaz je.
Matematika staví na takzvaných axiomech, což jsou výroky, které jsou nezvratně pravdivé a tvoří základy. Bývá jich velice málo, a protože se nedokazují, matematici se o nich rádi přou. Důkaz je pak aplikace určitých pravidel tak, abychom libovolný výrok mohli rozložit až na úroveň axiomů. Kdykoliv tahle pravidla dodržíš, bude tvůj postup zcela korektní a akceptovatelný důkaz.
Body, které jsi uvedl, jsou už jen techniky, jak a jaká pravidla aplikovat, abychom něco dokázali nebo vyvrátili.
- přímý: A => B
- nepřímý: nonB => nonA (někdy je jednodušší pracovat s B než s A)
- sporem: (nonA => 0) => A (někdy je zase jednodušší pracovat s doplňkem výroku)
- indukce: staví na principu spočetnosti množin, ale to bychom museli zaběhnout do Teorie množin
- protipříklad: A platí pro X libovolné, pevné z U <=> non(A neplatí alespoň pro jedno X z U)
Pro každou větu existuje řada důkazů, ve škole se učí ty nejjednodušší.
Děkuji:)