Supremum,infimum,maximum
Dobrý den, můžu poprosit o vysvětlení pojmů maximum, minimum, supremum a infimum co tyto pojmy znamenají a jak je určit?
Klára B.
24. 11. 2015 10:15
3 odpovědi
Ahoj Kláro, nejprve si musíme vysvětlit jednu důležitou věc, abych ti tyhle pojmy dokázal vysvětlit.
Jaké je největší reálné číslo takové, které je menší než 0? Tvrdím, že takové číslo neexistuje.
Zkusíme to, hledáme x < 0, aby pro každé y < 0 platilo y <= x < 0.
Pokud bychom takové x dokázali najít, aby platilo by y <= x < 0, položím y = x/2
Teď ale platí, x < x/2 < 0 a tím jsme porušili původní podmínku.
Tuhle myšlenku je nutné pochopit, jinak se dál ztratíš.
A teď, proč je to důležité?
Vezmu si uzavřený interval [0, 1] a hledám jeho:
a) minimum - nejmenší hodnotu z intervalu [0, 1] a to je 0
b) maximum - největší hodnotu z intervalu [0, 1] a to je 1
Co když si vezmu otevřený interval (0, 1) a hledám jeho:
a) minimum - nejmenší hodnotu z intervalu (0, 1) a taková hodnota neexistuje
b) maximum - největší hodnotu z intervalu (0, 1) a taková hodnota neexistuje
Tady zužitkujeme naši původní myšlenku.
Pokud hledáme minimum na zdola otevřeném intervalu, nemůžeme ho nikdy najít.
Vždy bude existovat menší hodnota, která do intervalu patří.
Pokud hledáme minimum na zdola uzavřeném intervalu, najdeme ho velice snadno.
Stejné platí i pro maximum a horní mez intervalu.
Aby bylo možné hledat minimální a maximální hodnoty na otevřených intervalech, používá se infimum a supremum.
Vezmu si uzavřený interval [0, 1] a hledám jeho:
a) infimum - největší hodnotu, která je menší nebo rovná, než cokoliv z intervalu [0, 1] a to je 0
b) supremum - nejmenší hodnotu, která je větší nebo rovná, než cokoliv z intervalu [0, 1] a to je 1
Co když si vezmu otevřený interval (0, 1) a hledám jeho:
a) infimum - největší hodnotu, která je menší nebo rovná, než cokoliv z intervalu (0, 1) a to je 0
b) supremum - nejmenší hodnotu, která je větší nebo rovná, než cokoliv z intervalu (0, 1) a to je 1
Když to shrnu - minimum a maximum musí být prvky intervalu.
Infimum a supremum jsou minimální a maximální hodnoty, které nemusí být prvky intervalu, ale plní funkci minima a maxima.
Děkuji za odpověď. Můžů poprosit ještě o uvedení dalšího příkladu, kde by byli trochu vyšší čísla např. interval od 4 do 6, abych si vše lépe ujasnila.
děkuji :)
Kdyby to byl například interval <4,6), tak minimum a infimum je 4, supremum je 6 a maximum ta množina nemá.