Pravděpodobnost - závislé a nezávislé jevy

Petře, rozumíš trochu pokru v rámci základních pravidel?

Když máš na ruce hand of four, jedná se o cennější kombinaci než fullhouse, což je dáno nižší pravděpodobností jevu.

Takže P(Y) nemůže být vyšší než P(X), to zaprvé.

Za druhé, jak jsi počítal pravděpodobnosti obou jevů?

Pokud korektně (bez slepého dosazování do vzorce), spočítáš pravděpodobnost průniku naprosto stejně jako X nebo Y.

Malá nápověda - zkus rozdávat křížem.

Aha, to jsem si neuvedomil.

P(X) jsem pocital jako (C(13,1)*C(4,3)*C(12,1)*C(4,2))/(C(52,5)) = 4/4165 , prvne jsem to spatne opsal omlouvam se.

P(Y) jsem pocital jako (C(13,4)4C(39,1))/(C(52,5)) = 143/3332

Ale porad vychazi P(Y) vetsi nez P(X) takze mam nekde chybu. Ale mam v tom zmatek neumim si to predstavit. Mohu Vas poprosit o nejake nasmerovani ?

Jasně, vzorečky jsou super, když se používají správně, ale jinak je to cesta do pekel.

Lepší je to bez nich, takže si nejdřív vyjasníme několik věcí.

• jev A je ruka hráče 1

• jev B je ruka hráče 2

a) rozdáme 5 karet hráči 1 a pak 5 karet hráči 2

b) rozdáme 5 karet hráči 2 a pak 5 karet hráči 1

c) rozdáváme křížem, hráči 1, hráči 2, hráči 1, hráči 2, ...

Jevy A a B mají stejnou pravděpodobnost za podmínky (a), (b) i (c).

Doporučuji myšlenkový experiment, že je to pravda (jinak by poker nikdo nehrál).

Takže rozdáváme 10 karet, ale můžeme si je uspořádat tak, aby se nám to lépe počítalo.

• jev X0 je fullhouse pro hráče 1 v konfiguraci 33322

p(X0) = (52/52) * (3/51) * (2/50) * (48/49) * (3/48) * (47/47) * (46/46) * ...

• jev X je fullhouse pro hráče 1

p(X) = p(X0) * (5! / 3! / 2!) = 6 / 4165

Tenhle výpočet by měl být jasný?

Včetně toho, že násobíme 10 pravděpodobností, ale posledních 5 hodnot jsou jedničky.

Zkus si stejným způsobem udělat 4-hand hráče 2 a nezapomeň, že zatímco teď jsme rozdávali v pořadí (a), můžeme pro jev Y rozdávat v pořadí (b).

No a p(X a Y) spočítáme úplně stejně, dokonce se hezky počítá i při rozdávání v pořadí (c), stačí jen myslet na to, jaké karty hráč musí a nesmí dostat.

Z Vašeho postupu je mi to jasnější :) Ale ještě si uplně nejsem jistý správným postupem.

Takže násobíme 10 pravděpodobností protože dáváme 5 karet hráčí jedna a zároveň 5 karet hráči 2 (bez toho abychom vraceli karty zpět do balíčku)? Je to správně ?

No ještě mám zmate v těch možnostech a, b, c.

Musím je řešit zvlášt že? To znamená že vypočítám pravděpodobnost pro jev X (hráč dostane fullhouse) a jev Y (hráč dostane 4-hand) pro možnost (a).

Potom pravděpodobnost pro je jev X a jev Y pro možnost (b), a taky pro (c) ?

Takže mámé zatím pro možnost (a) pravděpodobnost že hráč 1 dostane fullouse 6/4165 a výpočet že hráč 2 dostane 4-hand:

• budu počítat že 47 karet protože 5 karet má už hráč 1 ?

P(Y0) = (47/47)(3/46)(2/45)(1/44)(42/43)(42/42)(41/41)*...

P(Y) = P(Y0)*(5!/(4!*1!)) = 7/21758

Je to tak správně?

Bohužel, není to správně.

Nemůžeme začínat výpočet od 6. karty, protože hráč 1 může mít na ruce řadu kombinací a na korektní výpočet bychom museli použít větu o úplně pravděpodobnosti a to by bylo dost složité.

Myšlenka je následující: když mezi hráče rozdám 10 karet, tak pravděpodobnost, že hráč 1 drží konfiguraci A, je stejná jako pravděpodobnost, že hráč 2 drží tu stejnou konfiguraci A. Takže nezáleží na pořadí hráčů! Souvisí to s permutací balíčku karet jako bijekcí na univerzu, ale je jednodušší si to zdůvodnit nějak intuitivně.

Pravděpodobnost jevu X jsme spočítali snadno - rozdávali jsme podle varianty (a).

Pravděpodobnost jevu Y můžeme spočítat úplně stejně - protože budeme rozdávat podle varianty (b).

Takže žádné komplikace a spočítej Y stejně jako já - začni od 52, nikoliv od 47, zbytek hodnot je správně.

Jev X&Y se pak spočítá naprosto identicky - násobíme 10 hodnot (rozdáváme 10 karet) a prvních 5 bude fullhouse hráče 1 (to už známe) a další 5 bude 4-hand hráče 2 (což je 52 karet mínus 8 karet, které blokuje hráč 1).

Achjo, omlouvam se za moje nepochopeni..

Takze pravdepodobnost jevu Y by mela byt:

P(Y0) = 52/52 * 3/51 * 2/50 * 1/50 * 48/49

P(Y) = P(Y0) * 5!/(4!*1!) = 24/104125 , doufam ze uz je to spravne?:)

Chci se jeste zeptat, nejak mi nedochazi proc bude 52 karet - 8 karet ?

Vypocet P(X prunik Y) = 52/52 * 3/51 * 2/50 * 48/49 * 5!/3!/2! * (52-8)/(52-8) * 3/43 * 2/42 * 1/42 * 40/41 * 5!/4! = souhlasi?

Pořád nesouhlasí :-)

Ale dobrá zpráva je, že už tomu rozumíš a jsou tam jen numerické chyby, třeba v té části 2/50 * 1/50 je jasné, že jen utekla hodnota.

p(Y0) = 52/52 * 3/51 * 2/50 * 1/49 * 48/48 * ...

p(Y) = p(Y0) * 5! / (4! * 1!) = 1 / 4165

p(X&Y) = (52/52) * (3/51) * (2/50) * (48/49) * (3/48) * [hráč2]

na hráče 2 zbývá 47 karet celkem (52-5), ale protože hráč 1 drží 2 hodnoty, vyhovuje pouze 44 karet (52-8)

p(X&Y) = [hráč1] * (44/47) * (3/46) * (2/45) * (1/44) * (43/43) * ... [kombinace pořadí]

a kombinace pořadí jsou celkem jasné

p(X&Y) = [hráč1] * [hráč2] * 5!/3!/2! * 5!/4!/1!

Uff,

P(X)*P(Y) = 6/17347225

P(X&Y) = 2/4502365

Jevy X, Y jsou zavisle. Mam uz tento vysledek spravne?

Petře, vypadá to, že jsi se s tím natrápil, takže ti prozradím profesionální trik.

Profesionální proto, že profíci ovládají techniku zvanou optimization and self-checking.

Spočívá ve vytvoření typového příkladu, kde uvidíme, jestli je správný výsledek.

Budeme počítat stejný příklad, ale tentokrát si vezmeme balíček o 12 kartách! 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

Jaká je pravděpodobnost p(X), tedy fullhouse hráče 1?

X <- 12/123/112/108/93/8 * 10

Jaká je pravděpodobnost p(Y), tedy 4-hand hráče 2?

Y <- 12/123/112/101/98/8 * 5

Jaká je pravděpodobnost p(X&Y)?

XY <- 12/123/112/108/93/8 * 10 4/73/62/51/4*3/3 * 5

Doteď jsme používali vzorce shora, co už jsme odvodili, nic nového.

Ale teď nasadíme Bayesovu větu: p(Y|X) = p(Y & X) / p(X)

K tomu stačí spočítat XY / X = 0.1428571

Jaká je podmíněná pravděpodobnost p(Y|X) bez použití Bayesovy věty?

No, hráč 1 si vytáhl fullhouse (třeba 11122), takže v balíku zbývá 1223333.

Takže podmíněná pravděpodobnost podle našeho vzorce shora je 4/73/62/51/43/3 * 5 = 0.1428571

A právě jsme provedli zkoušku, že naše vzorce i odvození jsou správné.

EDIT: Koukám, že už jsi odpověděl.

Ano, jevy X,Y jsou závislé, což bylo jasné od začátku, je to poker.

Čísla jsem nepočítal, ta potvrdil nemůžu.

K tomu si můžeš všimnout, že šance na 4-hand hráče je paradoxně vyšší.

Ano bylo to pro me tezke ale myslim ze to neni tak tezke jak to vypada, jenom v tom porad hledam neco sloziteho a jsem strasne zmateny z tech moznosti. Pote co Jste mi ukazat na 12 kartach uz je mi to vice mene jasne. Jenom skoda ze ve skole nemaji podobny pristup, misto toho vas zasypou nicnerikajic vzoreckama, ale to samozrejme nemuzu davat za vinu skole ani ucitelum :). Jen je skoda, ze se to nevysvetluje treba takhle.

Kazdopadne dekuju moc krat za vysvetleni a za trpelivost se mnou :)