Zjištění diskriminantu podle kořenů polynomu
Ahoj,
mám obecný polynom a znám jeho kořeny. Jde z těchto kořenů nějak obecně získat diskriminant, například pro kvadratický polynom?
Ještě bych tu otázku trochu rozvinul:
Existuje právě jeden možný diskriminant pro nějakou dvojici kořenů kvadratického polynomu, nebo jich je nekonečně mnoho?
K ničemu to nepotřebuji, jen mě to zajímá. Děkuji za jakékoli nápady.
Jan B.
20. 02. 2016 17:03
3 odpovědi
Ahoj,
pomocí Vietových vztahů mi obecně vyšlo pro diskriminant D = a^2.(x1-x2)^2, kde a je koeficient u kvadratického členu. Z toho by se možná dalo dedukovat, že existuje nekonečně mnoho diskriminatů pro jednu dvojici (už jenom, že to byla soustava 2 rovnic o 3 neznámých), protože rovnici mohu vynásobit, resp. vydělit jakýmkoliv nenulovým reálným číslem r a řešení se nezmění, diskriminant ano (ale asi ne pro r=1, resp. r=-1). Ale nemám ponětí jak by to bylo, kdybychom do toho zahrnuli i komplexní kořeny, tzn. komplexní čísla. Je to opravdu jen nápad, takže mě radši kdyžtak opravte.
Jde mi o to, že přemýšlím nad tím, jak naprogramovat algortimus na postupy v novém Mathematicatoru.
V některých případech jsem schopen nalézt řešení pouze numericky a analytický postup "hádám" až z něj, tj. postupuji odzadu. Jde o to, že uživatelé zadávají různě složité vstupy, z kterých je velice obtížné správně naparsovat zadání a já chci diskriminant zobrazit. ;)
Obecně to určitě neplatí. Mějme kvadratickou rovnici nad komplexními čísly s reálnými koeficienty (tj. kořeny hledáme v C, koeficienty jsou z R). Pak jediná možnost, kdy lze z kořenů jednoznačně spočítat diskriminant, je když jsou oba kořeny stejné - diskriminant je nula. Jakmile ale nejsou oba kořeny stejné, tak přenásobením rovnice libovolnou konstantou různou od 0 a 1 změníme hodnotu diskriminantu, ale kořeny zůstávají stejné. Tedy jakmile jsou dva různé kořeny, tak je diskriminant nenulový, ale existuje nekonečně mnoho hodnot, kterých může nabývat.
Kdybyste to chtěli podrobněji rozepsat, klidně řekněte :)