Extrém funkce a druhá derivace
Zdravím,
že tam, kde má funkce lokální extrém, musí být první derivace rovna nule (pokud existuje), j e pochopitelné. Derivace v bodě má geometrický význam směrnice tečny a v místě, kde má funkce extrém, je tečna rovnoběžná s osou x a funkční přírůstek (kladný nebo záporný) pokud z tohoto bodu odejdeme musí být tedy nulový. Že se této vlastnosti dá s výhodou použít právě pro hledání extrémů funkce , je tedy také logické. Existuje podobně logické zdůvodnění pro to, že když zkoumáme pomocí druhé derivace (pokud je nenulová), zdali extrém v bodě X je minimem nebo maximem, že platí:
f(X) > 0 – minimum
f(X) < 0 – maximum?
Tady mi představivost, proč to tak je, zcela chybí a ve všech zdrojích, kde jsem to hledal, je to pouze konstatováno. Pokud je i toto zcela zřejmé, tak se dopředu omlouvám za ignoranci.
Děkuji.
František F.
10. 02. 2015 09:19
4 odpovědi
Samozřejmě jsem chtěl napsat:
f´´(X) > 0 – minimum
f´´(X) < 0 – maximum?
Dobrý den, Františku,
tohle je moc pěkná tázka a je na ní krásná odpověď, která se mě osobně hrozně líbí, ale moc čast to takto neučím, protože je to právě hodně těžké na představivost. Vysvětlím to na příkladu lokálního minima.
Představte si pro jednoduchost parabolu otevřenou nahoru, s minimem v bodě 0. Třeba funkci x^2.
Tak a jděte třeba z bodu mínus tři doprava a koukejte se co se děje s derivací (hezky je to vidět právě na spěrnici tečny) v bodě -3 je derivace hodně záporná, v bodě -2 je méne záporná, v bodě -1 je ještě mín záporaná, v bodě 0 je nulová, v bodě 1 je lehce kladná, v bodě 2 je trochu víc kladná, atd. tedy v celém tom průběhu nám první derivace rostla (z hodně záporných hodnot přes nulu ke kladným hodnotám). A když funkce roste, tak její derivace je kladná. Tedy když nám první derivace rostla, tak druhá derivace byla kladná. Takže tady je to spojení s kladnou druhou derivací a lokálním minimem.
je to jsané?
Dobrý večer Marku,
v podstatě si tu první derivaci původní funkce představím jako běžnou (novou) funkci a druhou derivaci jako první derivaci této funkce (té první derivace). Pak už stačí aplikovat to, co píšete nahoře a představa je na světě - alespoň doufám, že toto pochopení Vašeho výkladu je správné. Moc děkuji za názorné vysvětlení
František
Jojo, je to přesně tak.