Lineární funkce

Nejsem si jist, jestli dobře chápu zadání. Můžeš, prosím, přidat danou úlohu (přesné znění zadání)?

Jojo, určitě. Když si to teď po sobě čtu, asi bych to taky nepochopila. On celkově ten příklad je ještě trochu obsáhlejší a tohle byla jen část toho zadání... Tak celý příklad zní: Napište soustavu lineárních nerovnic, která vymezuje oblast s vrcholy v bodech: A=[0,1], B=[0,2], C=[1,0], D=[2,0], E=[1,2], F=[2,1]. Úkoly: 1) Načrtněte hledanou oblast, 2) najděte lineární funkce popisující hranice oblasti (s tím jsem si právě nebyla jistá), 3) určete nerovnice vymezující oblast, 4) zapište soustavu v maticovém tvaru (s tím si taky nevím rady). Kdyby to pomohlo, tak pro představu sem můžu hodit i ty výpočty, jak jsem postupovala. Akorát, že to asi bude celé špatně.

Důležité je si to správně načrtnout (raději pošli obrázek). Teď je potřeba napsat rovnice přímek (ne všechny jsou lineární funkce), na kterých leží hraniční úsečky (strany mnohoúhelníku).

Tak tady posílám takový pokus o výpočet. Myslim, že tam těch správných výsledků asi moc nebude :D

Připadá mi, že ten náčrt není dobře, nemělo by to být spíše takto? (body A,C u tebe vůbec nejsou vrcholy)

Moc dobře nechápu ten závěr "nekonečně mnoho řešení". Hledáme přeci předpis lin. funkce ve tvaru y = ax + b a když ti vyjde a=0 & b=0, tak y = 0x+0 => y=0 (to je tzv. konstantní funkce a je to rovnice osy x, což je v našem případě přímka CD). Ale ted k té 1), tam tu bude jinak, přeci už ty první dva řádky ti říkaji, že b = 1 a z druhého řádku b = 2, což je ale nějaký nesmysl. Je to způsobené tím, že tahle přímka je rovnoběžná s osou y (dokonce totožná v našem případě) a takové přímky nejsou funkcí, protože jednomu x přiřazují více y (tady dokonce nekonečně mnoho). Někdy je tedy nutné hledat přímku v obecném tvaru p: ax+by+c=0, kde n = (a,b) je normálový vektor (kolmý vektor k naší přímce p). K ose y je normálový vektor třeba (1,0), takže rovnice bude: 1x + 0y + c = 0 ... x + c = 0 (c určíme tím, že sem dosadíme nějaký bod, co na této přímce leží, třeba bod A ... kolik bude c?).

Jojo, tu chybu v náčrtu už vidím, moc děkuju! :) aha, tak takhle to je... takže c bude -1 a konečný výsledek rovnice tím pádem bude x-1=0 ? a nic víc už se s tím pak nedělá? A ještě jsem se chtěla prosím zeptat, ten maticový tvar soustavy nerovnic mám správně?

Jaktože c = –1?

Počítala jsem to tak, že jsem si dosadila do výsledného obecného tvaru přímky, po dosazení normálového vektoru, x+c=0 za x číslo 1 (což je bod A, který leží na přímce) a vyšlo mi c= -1 ... ono se to má dosadit rovnou za to c? takže to bude 1? nebo já nevím, myslela jsem, že to chápu, ale asi špatně teda :(

Dosazujme souřadnice bodu A. První souřadnice je x-ová a druhá je y-ová. Bod A má souřadnice [0,1] (x-ová je tedy 0, nikoli 1).

Tak teď už je mi to jasný, děkuju. Takhle jsem to původně měla, ale ta nula mě zmátla.. pak jsem koukla do toho grafu, kde mám označený bod A (který leží na čísle 1), takže jsem to dosazovala takto právě. Takže když teda vyšlo x=0, jedná se o totožnost s osou y jestli to chápu správně, což by už odpovídalo i grafickému znázornění... a to převedení na maticový tvar je takhle správně? Já bohužel nevím správný postup, tak jsem to takhle zkusila odvodit...

Nemělo by těch nerovnic být 6? Pro každou stranu (přímku) jedna a průnik šest polorovin bude vymezovat tu oblast.

Když na to tak koukám, tak asi jo, ty 3 mi tam chybí... zkusím to předělat...

Tak takhle jsem se pokusila dopočítat ty zbylé 3 nerovnice, akorát vůbec nevím, jak je převést do toho maticového tvaru, tam to mám i špatně dosazené, nevím jak to má být správně. Prosím nevíš správný postup?

A ještě jsem se chtěla zeptat, nebude těch funkcí teda taky 6 místo 3? Děkuju

Ty nerovnice jsou podle mě ted dobře, kromě těch k AB a CD, tam je to prohozené. Třeba u AB kdyby to platilo pro y>0, tak tam patří i body, které jsou "vlevo nahoře" (druhý kvadrant). Je to osa y, jejíž rovnice je x = 0 (jak správně píšeš) a tedy stačí jen x > 0. Upřímně pokud máme dát ty nerovnice to matice, tak s nerovnicemi v matici jsem se ještě nesetkal, ale patrně jde o to dát proměnné na jednu stranu a čísla na pravou stranu pak sepsat ty koeficienty a asi by to chtělo, aby zobák byl u všech stejný (přenásobení -1), ale tady fakt nevím, je třeba někoho povolanějšího.

Pokud jde o ty funkce, tak přímky AC, CD, EF a BE jsou lineární funkce. Přímky AB a DF nejsou, protože pro jedno x (vlastně jediné) nabývají více než jednoho y (dokonce nekonečně mnoha) => není to jednoznačné => není to funkce.

Martine, nevím, jestli jsi slyšel o funkci více proměnných, případně o implicitních funkcích?

Hranice 2-rozměrné oblasti se v tomhle případě dá vyjádřit jako funkce f(x,y): RxR->R.

Aby sis to mohl představit, musí se funkce nakreslit v 3-rozměrném prostoru.

Bod [x,y] náleží do oblasti, pokud například pro všech 6 funkcí platí Ind{ f(x,y) >= 0} (záleží na konvenci položené nerovnosti)

Suma sumárum, všechny nerovnice se dají vyjádřit jako lineární funkce, ale už ne jako funkce jedné reálné proměnné (což zřejmě ani nikdo nechce).

Ten maticový tvar podle mě máte také špatně.

Vypadá to jako zadání z lineárního programování.

Takže pokud M je matice udávající zadanou oblast, potom M * [x y 1]' = V dává vektor V, jehož směr indikuje, zda bod náleží do oblasti.

Když rozházíte nerovnosti na větší a menší, není jasné, která hyper-rovina určuje hranici.

Takže u tvorby maticového tvaru se tedy vůbec nemůže použít dosazení výsledků a, b z nerovnic do vzorce ax+y>b, což se dá mimo jiné zjistit za pomocí směrového a normálového vektoru ze zadaných bodů? I když nevím, jak to zjistit např. u toho AB a CD... a co by se z těch zadaných dvou bodů pak mělo dosazovat za x a y? Zadání přesně znělo: zapište soustavu v maticovém tvaru. Děkuju

Nikolo, netuším, do jakého tvaru máš vytvořit omezující podmínky.

Obvykle se pro maximalizaci objektivní funkce používá množina podmínek ve tvaru: Ax <= b, kde A je matice, x vektor neznámých, b vektor biasů.

To je potřeba, abys mohla později zavést nové proměnné a převést systém do kanonického tvaru.

Ve svém výpočtu na to jdeš správně, ale musíš být konzistentní v podmínkách - buď všude <= nebo všude >=, nemíchat!

Když si vezmu body A=[0,1], B=[0,2], C=[1,0], D=[2,0], E=[1,2], F=[2,1] a sestavím nerovnice, co už máš:

AB: -x + 0y <= 0

BE: 0x + y <= 2

EF: x + y <= 3

... (atd)

Pak dostanu maticovou nerovnici:

[-1 0] [x] [0]

[ 0 1] * [y] <= [2]

[ 1 1] [3]

[ atd ]

To odpovídá množině podmínek Ax <= b, matice A by měla být ve tvaru 6x2, proměnné jsou vektor [x y]', pravá strana je vektor 6x1.

Ax <= b je "zápis soustavy nerovnic v maticovém tvaru".

Když řešíš jednotlivé nerovnice, tak proměnné x a y jsou prostě proměnné, mají stejnou váhu.

Takže pokud ti vyjde x <= 0 nebo y <= 0, neřešíš to a jedeš dál, prostě máš funkci ve tvaru x+0y<=0 nebo 0x+y<=0, pořád je to funkce.

Zápis maticové nerovnice se trochu rozbil, posílám ještě jednou na obrázku

Děkuju moc