Přihlásit se
Fórum
Katalog
Kurzy
Všechna videa
Články
Vaše úspěchy
Doučování
Nápověda

Zdravím, snažím se dopátrat nějakého matematicky-didaktického postupu jak odpovědět na otázku, proč platí, že dělení dvou zlomků je stejné jako násobit dělence převrácenou hodnotou dělitele.

Dokáže to někdo vysvětlit? (Prosím ale tak, aby to bylo funkční pro všechny varianty dělení zlomků, zejména tu kde je zlomek děleno zlomek, nikoliv celé číslo děleno zlomkem)


Obtížnost: Základní škola
Monika Z.

Monika Z.

23. 01. 2020   20:25

10 odpovědí

Marek V.
Marek V.
24.01.2020 00:31:08

Dobrý den, Moniko,

předpokládám, že jste učitelka a potřebujete to pro své studenty... nebo se pletu?

To, jestli je to zlomek lomeno zlomek, nebo celé číslo lomeno zlomek je v podstatě jedno, protože s tím zlomkem v čitateli se nic neděje. To, co je na tom potřeba pochopit je proč se ten spodní zlomek obrací a násobí se s ním. Didaktiku pro první stupeň moc neovládám, ale asi bych na to šel nějak takto:

Pokud to nemusí být čistě matematické obecné odvození, ale stačí ukázat, že to funguje, tak bych to udělal například na těchto dvou zlomcích: (100/2)/(50/5) 100/2=50 50/5=10

tedy výsledek musí vyjít 50/10=5

A hle, když udělám (100/2)*(5/50) tak to vyjde 5. A takhle to můžu ukázat na více zlomcích a říct si, že když to funguje pro tyto, bude to fungovat i pro ostatní. Jasně, není to důkaz, ale je to ukázání, že by to tak mohlo fungovat.

Marek

Monika Z.
Monika Z.
24.01.2020 00:44:17

Dobrý den Marku, nepletete se. Ale to co píšete je opravdu vcelku k ničemu. Jedná se o didaktický problém ale současně ... jak to vysvětlit i dospělému? Nejde o to "že to funguje", to víme. Intuitivně to i chápeme. Ale jak to ukázat/dokázat. Jde mi o nějaký podobný postup jako na videu https://cs.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-dividing-fractions/v/dividing-fractions-example

Jenže jak to demonstrovat se složitějšími zlomky? ;-)

Monika

Marek V.
Marek V.
24.01.2020 03:21:10

Ok. Rozumim. Tak co takhle:

Zlomek (A/B)/(C/D) rozsirime D/C. V citateli dostaneme (A/B)*(D/C) a ve jmenovateli 1. QED.

Souhlasí: 1    
Tomáš B.
Tomáš B.
24.01.2020 19:14:23

Ahoj,

řeknu to trochu drsně, ale problém je v tom, že tam to intuitivní chápání úplně chybí už u násobení a ono se to pak těžko vysvětluje, když sami nerozumíme ani nejjednodušším principům. A říkám to z vlastní zkušenosti, protože jestli víte, jak funguje násobení, tak naprosto intuitivně rozumíte třeba projekci v mnoharozměrných prostorech, kovarianci náhodných proměnných nebo Fourierově analýze, to všechno souvisí s pochopením malé násobilky.

Takže bych se opravdu nejdřív pokusil pochopit to násobení. Když mám totiž 2 míčky a vynásobím je 3 míčky, tak proč mi má vyjít 6 míčků? Vysvětlení je víc, ale opravdu je potřeba si to násobení "vynalézt" sám pro sebe.

Dalším intuitivním krokem není dělení (tam chybí pochopení úplně stejně), ale reciprocita. Čili jaký vztah má 5 k 1/5 a jak se to zpětně promítá do násobení.

Pak už je jen krůček k aplikaci na zlomky a obecnému dělení. Dobrý didaktický přístup musí vysvětlovat po krůčkách i ty nejjednodušší principy a tabulka malé násobilky nevysvětluje ani zbla.

Monika Z.
Monika Z.
24.01.2020 19:23:04

Marku je to co se tady zobrazuje kompletní váš komentář? Pokud ano, nejspíš jsem se někde zcela ztratila :D.

Tomáši to je fajn že v tom máte jasno. Ono to sice nijak nepomáhá řešení toho problému ...

Tomáš B.
Tomáš B.
24.01.2020 19:27:43

V matematice obvykle máme návod nebo postup, jak dojít k řešení problému. A ten návod jsem dodal, ale chce si to taky trochu lámat hlavu. Takže znovu, pokuste se intuitivně vysvětlit násobení, budete hodně překvapená, k čemu dojdete a o kolik se zjednoduší zlomky.

Marek V.
Marek V.
24.01.2020 19:34:45

Ano, Moniko, zobrazuje. Kde jste se ztratila? zkusim to rozepsat v Latexu.

\( \frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}}=\frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}}\cdot \frac{\frac{D}{C}}{\frac{D}{C}}= \frac{\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}}{\frac{C}{D}\cdot\frac{D}{C}}=\frac{\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}}{1}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}\)

Souhlasí: 2    
Monika Z.
Monika Z.
01.02.2020 12:46:34

Marku, ještě zkusím jeden didaktický dotaz: jaký je v matematice rozdíl mezi důkazem a ověřením? (kdy pythagorovu větu dokazuji a kdy ji ověřuji?...) mám to rozlišit v rámci didaktiky. Nicméně s žádným oficiálním definováním slova ověřit jsem se nesetkala.

Marek V.
Marek V.
01.02.2020 21:01:35

Dukaz je obecny. Dokazuje platnost. Napriklad dukaz pythagorovy vety muzete udelat asi 1000 zpusoby a jeden z nich je treba pres obsah ctverce, kde si sestronite pravouhle trojuhelniky... asi to znate.

Overeni je konkretni. Napriklad overite, ze pythagorova veta plati pro trojuhelnik se stranami 3, 4, 5.

Ale radsi si najdete definice. Ja delam matematiku spis v rovine pochopeni a aplikace nez v rovine rigoroznich definic s dukazu.

Souhlasí: 1    
Monika Z.
Monika Z.
01.02.2020 22:47:18

Děkuji, taky tomu tak rozumím ale s definicí ověření jsem se nikde v literatuře nesetkala.

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.