Funkce s absolutní hodnotou a definiční obor

Příklad 3

Ve jmenovateli nemůže být nula, podmínky jsou dvě: \( 3x+4 \neq 0 \), \( x-4 \neq 0 \) neboli

\(x \neq -\frac{ 4} { 3} \), \( x \neq 4 \).

Definiční obor tvoří všechna reálná čísla kromě těchto dvou, např.:

\( D(f)=(-\infty; -\frac{ 4} { 3} )\cup (-\frac{ 4} { 3} ; 4)\cup(4;+\infty)\)

Příklad 4

Pod odmocninou musí být kladné číslo nebo nula. Pro první odmocninu je podmínka

\(\displaystyle\frac{ 3x-2} { 1-x^2} \geq 0\)

Zlomek je kladný (nebo roven nule), když čitatel i jmenovatel jsou kladná čísla (čitatel též roven nule):

\( (3x-2\geq 0)\wedge (1-x^2>0) \)

anebo když čitatel i jmenovatel jsou záporná čísla (čitatel též roven nule):

\( (3x-2\leq 0)\wedge (1-x^2<0) \)

První soustava nerovnic má řešení \(\langle\frac{ 2} { 3} , +\infty)\cap (-1,1) =\langle\frac{ 2} { 3} ,1) \).

Pozn.: Nerovnici \( 1-x^2>0 \) řešíme např. tak, že ji upravíme na \( x^2<1 \), řešením jsou všechna čísla, jejichž druhá mocnina je menší než 1, tedy \( (-1,1) \).

V druhé soustavě má 1. nerovnice řešení \((-\infty,\frac{ 2} { 3} \rangle\), druhá \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \), jejich průnik je \((-\infty,-1 )\).

Definiční obor první odmocniny je \((-\infty,-1 )\cup \langle\frac{ 2} { 3} ,1) \).

Pro druhou odmocninu platí podmínka

\(\displaystyle\frac{ x^2+1} { x^2+9} \geq 0\)

ale čitatel je vždy kladný, protože \( x^2\geq 0 \), tedy \( x^2+1> 0 \), podobně jmenovatel \( x^2+9> 0 \). Definiční obor této odmocniny proto tvoří všechna reálná čísla.

Definiční obor celé funkce je tedy \((-\infty,-1 )\cup \langle\frac{ 2} { 3} ,1) \).

Super trošku mi to osvěžilo paměť takže takhle je to správné??

Už se do toho dostávám doufám

Je to tak??

Příklad 1

Výsledek je dobře, ale nevidím postup :) Jde o funkci s absolutní hodnotou. Postupujeme obvykle přes "nulové body". Pro každý interval zapíšeme funkci zvlášť (odstraníme absolutní hodnoty).

Zde jsou nulové body \( -10, +10 \), které rozdělí osu \( x \) na tři intervaly.

Postup ukážu třeba na prostředním intervalu \( (-10, +10 )\). Do absolutních hodnot dosadím libovolné číslo z intervalu, např. \( 0 \). V první absolutní hodnotě dostanu kladné číslo (při odstranění abs. hodnoty se výraz nezmění), v druhé záporné číslo (při odstranění abs. hodnoty se výraz změní v opačný).

\( y=-3(x+10)+2(-x+10) +x-1= -4x-11\)

To je ta "prostřední" část grafu, kde je funkce klesající.

Obdobně ve zbývajících dvou intervalech.

Příklad 5

Náčrtek je správně. Výpočet obsahu trojúhelníku: základna je \( x=10+5/4=11.25 \), výška \( v=5 \).

Příklad 3

Úprava je dobře. Definiční obor lze stanovit již z tvaru \( (x-4)(3x+4) \neq 0\). Nemá-li se součin rovnat nule, nerovná se nule ani jeden z činitelů, tedy \( x-4 \neq 0\), \(3x+4 \neq 0\), odkud máme hned výsledky.