Goniometrické nerovnice
Po urputném souboji s těmito nerovnicemi jsem došla k závěru že potřebuji pomoc místních chytrých hlav. U první rovnice jsem došla k závěru <π/3,π>u<5/3π,2π> ale vůbec si nejsem jistá správností svého postupu a natož potom výsledku. Proto bych vás ráda požádala o pomoc s řešením těchto nerovnic a o vysvětlení postupu.
Předem děkuji za pomoc! :)
Míša H.
01. 12. 2020 10:08
4 odpovědi
c) Tangens bych rozepsal pomocí sin, cos a postupnými kroky upravil na součinový tvar
tan(x)(1+2cos(x))≥0.
Tedy buď tan(x)≥0 a zároveň 1+2cos(x)≥0,
nebo tan(x)≤0 a zároveň 1+2cos(x)≤0.
Dále pomocí grafů, druhá nerovnice se ještě upraví.
b) Číslo 3 na pravé straně nerovnice lze upravit jako
3=4−1=4−[(sin(x))2+(cos(x))2].
Dostaneme kvadratickou nerovnici pro cos(x), použijeme substituci cos(x)=y.
a) Použij vzorec pro sin(2x) a pak uprav na součinový tvar.
Bude-li ještě z toho něco nejasného, napiš :)
Výsledek a) je dobře, postup:
2sin(x)cos(x)≤sin(x)
2sin(x)cos(x)−sin(x)≤0
sin(x)[2cos(x)−1]≤0
Součin dvou činitelů je záporný (nebo nula), když je jeden z nich kladný (nebo nula) a druhý naopak záporný (nebo nula), tedy
sin(x)≤0 a zároveň 2cos(x)−1≥0
nebo
sin(x)≥0 a zároveň 2cos(x)−1≤0.
Kosinus upravíme:
sin(x)≤0 a zároveň cos(x)≥1/2
nebo
sin(x)≥0 a zároveň cos(x)≤1/2.
Sinus je kladný v 1. kvadrantu, záporný ve druhém.
Jak se řeší nerovnice s kosinem, viz např. příklad 1 zde (jen tam nebude +2kπ, protože v zadání je pouze interval od 0 do +2π: