Goniometrické nerovnice

c) Tangens bych rozepsal pomocí sin, cos a postupnými kroky upravil na součinový tvar

$\tan(x) (1+2\cos(x)) \geq 0$.

Tedy buď $\tan(x) \geq 0$ a zároveň $1+2\cos(x) \geq 0$,

nebo $\tan(x) \leq 0$ a zároveň $1+2\cos(x) \leq 0$.

Dále pomocí grafů, druhá nerovnice se ještě upraví.

b) Číslo 3 na pravé straně nerovnice lze upravit jako

$3=4-1= 4-[(\sin(x))^2+(\cos(x))^2]$.

Dostaneme kvadratickou nerovnici pro $\cos(x)$, použijeme substituci $\cos(x)=y$.

a) Použij vzorec pro $\sin(2x)$ a pak uprav na součinový tvar.

Bude-li ještě z toho něco nejasného, napiš :)

Výsledek a) je dobře, postup:

$2\sin(x)\cos(x) \leq \sin(x)$

$2\sin(x)\cos(x)-\sin(x) \leq 0$

$\sin(x)[2\cos(x)-1] \leq 0$

Součin dvou činitelů je záporný (nebo nula), když je jeden z nich kladný (nebo nula) a druhý naopak záporný (nebo nula), tedy

$\sin(x) \leq 0$ a zároveň $2\cos(x)-1 \geq 0$

nebo

$\sin(x) \geq 0$ a zároveň $2\cos(x)-1 \leq 0$.

Kosinus upravíme:

$\sin(x) \leq 0$ a zároveň $\cos(x) \geq 1/2$

nebo

$\sin(x) \geq 0$ a zároveň $\cos(x) \leq 1/2$.

Sinus je kladný v 1. kvadrantu, záporný ve druhém.

Jak se řeší nerovnice s kosinem, viz např. příklad 1 zde (jen tam nebude $+2k\pi$, protože v zadání je pouze interval od $0$ do $+2\pi$:

http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/matus_kepic_bp…